Una Taxonomia de Costos de Transaccion
Probablemente la forma mas facil de entender y distinguir los costos de transacción es categorizarlos en terminos de ser costos de transacciones fijas versus variables, y los costos de transacciones explicitas versus implicitas son sugeridos por Kissell y Glantz.
Los costos de transacciones fijas son independientes de factores como el tamano del intercambio. En contraste, los costos de transacciones variables depende en algo o en todo en lo factores. En otras palabras, cuando los costos de transacciones fijas son “lo que son”, los gerentes de portafolio y inventores pueden buscar para reducir, optimizar, y manejar efectivamente los costos de transacción variables.
Costos de transacción explicitos
Comisiones de intercambio y cargos, impuestos, y subastas son explicitos o costos de transacción observables.
Comisiones y Cargos
Las comisiones se le pagan a los que manejan las quiebras para ejecutar intercambios. Normalmente, comisiones en intercambios de seguridad son negociables. Cargos de una institución se queda con las sguridades guardados seguramente son referidas cargos custiodales. Cuando la propiedad sobre una accion se transfiere, el que invierte se le carga un cargo de transferencia.
Impuestos
Los impuestos mas comunes son ganes capitales de impuestos e impuestos en dividendos. La ley de impuestos distingue entre dos tipos de ganancias de impuestos capitales: a corto plazo y a largo plazo.
Costos implicitos de transacción
Retrasos invirtiendo, los costos de impactos del mercado, riesgo del precio del movimiento, tiempo de mercadeo, y el costo de oportunidad son implicitos o no observables de costos de transacción.
Retraso de Invertir
Normalmente, hay un retraso entre el tiempo cuando el gerente de portafolio hace una decision de comprar/vender de una seguridad y cuando el gerente de portafolio se trae al mercado por un accionista. Si el precio de los cambios se la seguridad durante este tiempo, el cambio de precio representa el costo de retraso invertido, o el costo de no poder lograrlo inmediantemente.
Costos de Impacto del Mercado
Los costos de impacto del mercado es la desviaciones del precio de transacción del precio del mercado (medianos) que podrían prevalecer si el intercambio no habria ocurrido.El movimiento del precio es el costo, el costo de impacto del mercado, para demandar liquidad o imedieciedad.
Riesgo de Movimiento de Riesgo
En General, el mercado de intercambio exhibe un cambio positivo que aumenta el riego del precio de movimiento. Similarmente, las acciones individuales, al menos temporalmente, van de arriba hacia abajo.
Costos de Tiempo de Mercado
Los costos de tiempo de mercado se deben al movimiento en el precio de una seguridad al momento de la transacción que puede ser atribuida para otros participantes del mercado o un mercado general volátil.
Costos de Oportunidad
El costo de no haber transacción representa en costo de oportunidad. Por ejemplo,
cuando cierta accion falla en ejecutarse. El gerente de portafolio pierde una oportunidad. Comunmente, este costo se define como la diferencia en funcionamiento entre lo que desea invertir el gerente de portafolio y lo que actualmente invierte.
Costos de Liquidad y de Transaccion
Liquidad es creado por agentes de transacción en los mercados financieros cuando se compran y se venden seguridades. Creadores del Mercado y manejadores de quiebras no crean liquidad, ellos son intermediarios quienes facilitan la ejecución de intercambios y mantienen un mercado ordenado.
Los costos de Liquidad y de transacción estan interrelacionados. Un gran mercado de liquidad es una en donde habian transacciones grandes pueden ser inmediatamente ejecutar sin incurrir en costos de transacciones altos. En un mercado indefinido liquido, los inversionistas podrian realizar transacciones bien grandes directamente a los precios de subastas.
Mediciones de Impacto de Mercado
El problema de medir costos de transaciones implicitas es que es la medida cierta, el cual la diferencia entre el precio de la accion en la ausencia del dinero del gerente de intercambio y el precio de ejecución, no es observable. El precio de ejecución es dependiente en condiciones de demanda al margen. Asi que, el precio de ejecución puede ser influenciado por inversionistas competitiva quienes buscan una ejecución inmediata o por otros inventores con motivos similares para intercambio.
La Medida de Petrade usa precios que ocurren antes de o en la decision del intercambio, como un mercado de banca, al igual que el precio de apertura en el mismo dia o precio de cierre del dia anterior.
La Medida de Postrade usa precios ocurriendo después de la decisión para intercambiar como un mercado de banca, como el precio de cierre de un dia de intercambio o el precio de apertura en el proximo dia.
La Medida Promedio o “El Mismo Dia” usa precios promedio de un numero largo de intercambios durante el dia de la decisión del intercambio, tal como el precio del volumen promedio, calculado sobre todas las transacciones in la securidad.
Prediciendo y Modelando el Impacto del Mercado
Los costos de la transacción explicita son relativamente facil de calcular y predecir. La metodologia es un factor linear en donde el impacto del mercado es una variable dependiente.
Factores basados en intercambio
1. Tamano del intercambio
2. Tamano relativo del intercambio
3. Precio del mercado de liquidez
4. Tipo de intercambio
5. Eficiciencia y estilo de intercambio del inversionista
6. Caracteristicas especificas del mercado de intercambio
7. Tiempo de la sumisión de intercambio y el tiempo del intercambio
8. Tipo de orden
Factores basados en activos
1. Momento de precio
2. Precio volátil
3. Capitulizacion del Mercado
4. Crecimiento versus valor
5. Industria especifica o caracteristicas de sector
Un Modelo de Mercado de Factor Basado
Uno de los acciones mas comunes en practica y en la literatura del impacto de modelar mercados es a traves de un modelo de factor linear de la forma
MI(t) = Alfa + (Sum(Beta(i)*x(i) + Epsilon(t), donde i=1, hasta I)
Como sea, extensions de este modelo incluyendo condicionamiento volátil son tambien posibles. Analizando ambos, la media y las especificaciones volátil del impacto del mercado, podemos entender mejor y dirigir la transferencia entre los dos.
Incorporando Costos de Transacciones en Modelos de Alocacion de Acciones
Los modelos de alocacion de activos estandar generalmente ignora costos de transacción y otros costos relacionados al portafolio y revisiones de alocamiento. Como hemos visto, los costos de transacción estan lejos de ser insignificantes. Contrariamente, si los costos de las transacciones no se consideran pueden perderse gran parte de los reintegros. No importa que los fondos si los fondos son manejados efectivamente por el portafolio o el gerente de fondos, se puede aun mas hacer la diferencia intentando hacer el mejor papel del grupo consigo o un mercado de banca.
Un Ejemplo Sencillo
Cuando hay un rebalance en el portafolio, resolvemos la formulacion del riesgo de aversión del problema de media-varianza descrita arriba con Landa = 1, y con la funcion de penalidad del costo de transacción que toma la forma de:
TC(x) = .005* Sum|xi|, desde i=0, hasta N
Intercambio Optimo
Las decisiones del gerente de portafolio y el inversionista se basan en objetivos diferentes. El gerente de portafolio construye el portafolio optimo para reflejar el mejor intercambio entre reintegros esperados y el riesgo, dada la asignación de los costos de intercambio que prevalecen. El inversionista decide acerca del tiempo de a ejecución de los intercambios basados en el intercambio entre costos oportunistas y costos de impacto del mercado.
Podemos pensar acerca de costos oportunistas como la representación de la varianza del costo total de la transacción. Mas específicamente, nosotros definimos una estrategia de ejecución optima a ser una estrategia que es una solucion al problema de optimizacion
Min(1-Landa)E(TC)-LandaVar(TC), donde E(TC) y var(TC) denota la expectación y la varianza del costo total de transacciones, y Landa es un parametro de un riesgo de aversión.
Gerencia de Portafolio Integrado: Reintegros Mas Alla de lo Esperado y Riesgo de Portafolio
Intercambio de equidad deberia verse separadamente de gerencia de portafolio de equidad. En lo contrario, la gerencia de los costos en equidad de intercambios es una parte integral de cualquier estrategia gerencial de invertir satisfactoriamente. MSCI Barra afirma que la mejor manera de invertir se basa en consideración cuidadosa de cuatro elementos clave:
1. Formar expectaciones de reintegro realistas.
2. Controlar el riesgo del portafolio
3. Controlar eficientemente los costos de intercambio
4. Monitoreo total del funcionamiento de inversiones
Aplicando La Selección del Portafolio a la Practica
En la presentacion de optimizacion de la media varianza, portafolios eficientes se forman eligiendo un activo basado en su interaccion con otros activos en el portafolio, y no solo en la base de funcionamiento por separado. La presentacion de la media-varianza solo sirve como un punto de partida. El acercamiento original propuesto por Markowitz se extiende frecuentemente en varias direcciones diferentes.
1. Ser un modelo de un periodo sencillo (myopic) que tiene que ser modificado para poder ser tomado en consideración en condiciones de un mercado cambiante sobre periodos multiples.
2. Los objetivos gerenciales del portafolio y sus politicas frecuentemente imponen restricciones mas alla de aquellos que tienen el modelo original.
Re-balanceando en el Marco de Optimizacion de la Media-Varianza
Despues que se decida en donde se van a alocar los activo, re balancear el portafolio es probablemente la segunda decisión mas importante para un portafolio de inversiones. Como ambiente economico y la mezcla de activos cambian, la gerencia de portafolio re balancea sus portafolios para incorporar nuevas visiones en reintegros experados y sus riesgos.
Los portafolios que se equivoquen los menos posible requieren mas re balanceo frecuente, el cual en turno aumentan sus costos de transacción. En general, podemos distinguir los siguientes tres resultados diferentes para re balancear un portafolio.
1. Re balancear por calendario. Re balancea el portafolio al lugar mas optimo a cierta frecuencia como semanal, mensual, cada 3 meses y asi sucesivamente.
2. Re balancear a cierto punto. Re balancea el portafolio a su composición mas optima una vez que este a cierto rango. Como por ejemplo, re balancea el portafolio cuando difiera el 10% de su peso optimo.
3. Re balancear por rangos. Re balancea el portafolio a un rango predeterminado una vez que se haya desviado de ahí.
Ejemplo: Re balancea El Portafolio Indice Del MSCI World
En un ejemplo de un portafolio que usa 18 paises del Indice de MSCI World en el periodo de Enero de 1980 hasta Mayo de 2004. Comparamos tres resultados simples en un re balanceo mensual del portafolio que contiene indices diferentes de paises contra el indice total:
1. Permanece con una porcion igual de cada activo por toda la muestra.
2. Re balancea el portafolio en forma mensual calculando la varianza minima global del portafolio, sin permitir ventas cortas.
3. Re balacea el portafolio de forma mesaual usando la formulacion de aversión de riesgos del problema de la optimizacion de la media-varianza con un coeficiente de riesgo de aberración, landa, igual a 2, sin permitir las ventas cortas.
Limites de Portafolio Usados Comunmente en Practica
Funciones Intitucionales y las decisiones de politica de inversiones frecuentemente llevan a unos limites mas complicados y los objetivos de portafolio gerencial mas que los de el presenten la formulacion original del problema de la media-varianza. Un gerente de portafolio tambien puede estar restringido en que tan concentrado el portafolio de inversiones puede ser en una industria o sector particular.
Se denota los pesos del portafolio corriente por w(o) y los pesos del portafolio que se quiere llegar por “w”, asi que la cantidad de intercambio se da por: x = w-w(0).
Limitaciones Lineales y Cuadraticas
Limitaciones solo-largas. Cuando las ventas pequenas no se permiten se requiere que “w” menor e igual que 0. Esto es un limite usado frecuentemente, como muchos fondos e inversionistas se les prohibe vender pocas acciones.
Limitaciones de devoluciones. Una devolucion alta de portafolio puede resultar en costos de transacciones largos que pueden hacer el re balanceo ineficiente. Una posibilidad seria limitar la cantidad de devoluciones permitida cuando se realiza una optimizacion de portafolio. Los limites de devoluciones mas comunes en un activo individual o todo el portafolio se da como:
Sum|xi| menor e igual U portafolio, donde i pertenece a I, donde I denota la inversion universal disponible.
Aguantando los Limites. Un portafolio bien diversificado deberia exhibir concentraciones grandes en activos especificos, industrias, sectores, o paises. Aguantando los limites al maximo en activos individuales puede ser controlado por el limite
Li < e igual que wi < e igual que Ui, donde Li y Ui son vectores representando los limites inferiores y superiores de aguantar los activos de i. Para limitar la exposición a un arreglo especifico Ii del universo disponible I, podemos introducir limites de la forma
Li < e igual que Sum ( wj < e igual que Ui, donde j = Ii, donde Li y Ui denotan las exposiciones minimas y maximas a Ii.
jueves, 22 de octubre de 2009
martes, 6 de octubre de 2009
Rotaciones Oblicuas y Ortogonales(Presentacion 1, de Econometria)
Rotacion Oblicua del Problema de 12 variables.
Al estar interesados en mantener las construcciones factoriales lo mas independientes posibles entres si, se debe mantener los angulos entre los factores lo mas cerca de 90 grados. Como en la siguiente grafica:
En la misma aparecen resultados de las rotaciones ortoganales del problema de las 12 variables. En el primer trazado del factor I con el factor III, como aparece en la siguiente grafica:
El vector de referencia I se mueve a la posición I4 desde la posición ortogonal final original en I3. El vector de referencia I4 esta realmente mas alejado de los puntos con proyecciones altas sobre este valor de referencia que lo que estaba I3, asi que la rotacion no ha hecho para acercar el vector de referencia I a un grupo de puntos con pesos altos en I. Como esta es la primera rotacion oblicua por vez primera el vector de referencia I y el factor I no coincidiran. Hasta que un vector de referencia sea rotado oblicuamente respecto a otro vector de referencia, aquel coincidira con su vector factorial asociado.
Los calculos para alterar A, la matrix de transformación ortogonal final, para incluir esta primera rotacion oblicua.
I’ = I – tg (phi)* III
Lan 11 = .711 - .2(.439) = .711 -0.88 = .623
Lan 21 = .057 -.2(-.237) = .057 + .047 = .104
Lan 31 = -.201-.2(.845) = -.201-.169 = -.370
Lan 41 = -.671-.2(.192) = -.671-.038=-.709
El hiperplano perpendicular al vector de referencia con posición III4 esta mejor situado que lo que estaba en la posición original perpendicular a III3. Los calculos para obtener la nueva columna III de la matriz A para llevar a cabo la rotacion son los siguientes:
III’ = III - .17(I)
Lan 13 = .439 - .17(.711) = .318
Lan 23 = -.237 - .17(.057) = -.247
Lan 33 = .845 -.17(-.201) = .879
Lan 43 = .192 -.17(-.671)=.306
La suma de los cuadrados de los valores de Lan i3 no normalizados de las Esc. es 1.0284 y su raiz cuadrada es 1.014
La matriz de correlaciones entre los vectores de referencia C, como sigue;
C = A1 ‘A1
Se multiplica la transpuesta de la matriz de transformación por la matriz de transformación misma para tener la matriz de correlaciones entre los vectores de referencia.
La matriz final de correlaciones entre los vectores de referencia para el problema de 12 variables es de esta forma:
I II III IV
I 1.000 .000 -.343 -.411
II .000 1.000 .000 -.001
III -.343 .000 1.000 .040
IV -.411 -.001 .040 1.000
Los ejes factoriales coinciden con las intersecciones de los hiperplanos. Si dos lineas de interseccion tales mantienen un angulo entre ellas menor de 90 grados, entonces el angulo entre los vectores de referencia perpendiculares a ellas debe ser mayor de 90 grados, produciendo una correlacion negativa. Sin embargo, si las lineas de interseccion de los hiperplanos mantienen un angulo mayor de 90 grados, sus normales, los vectores de referencia, deben mantener un angulo entre ellos menor de 90 grados.
Obtencion de las matrices adicionales
Consideremos la operación matricial esquematica de la figura Ilustrada:
Ignorando por un momento, la parte inferior T de la matrix de la izquierda y la parte inferior D de la matriz de la derecha, esta operación es justamente A ^A = V. Que producia la estructura final de los vectores de referencia V, multiplicando la matrix de pesos no rotados.
Puesto que los vectores factoriales rotados que estan representados por las filas de T en la figura ilustrada, tienen como longitud la unidad, y los vectores factoriales no rotados tienen como longitud la unidad, las correlaciones entre estos dos conjuntos de vectores vienen dadas por
Rij = hi hj Cos(Phi ij) = (1.0)(1.0) Cos(Phi ij) = Cos(Phi ij)
Los valores de cada fila de la matriz T son, por lo tanto, los cosenos direccionales de los vectores factoriales rotados oblicuos respecto a los vectores factoriales no rotados ortogonales. Por lo tanto, la fila i de la matriz T y la columna j de la matriz ^A representan los cosenos direccionales del vector factorial i y del vector de referencia j, respectivamente. Cuando i=j, estos son el vector factorial y el vector de referencia que se corresponden mutuamente en la solucion oblicua.
Correlaciones entre los factores
La matriz de correlaciones entre los factores oblicuos puede representar como sigue:
Obli= TT’
Donde T, como antes, es una matriz cuyas filas son cosenos direccionales de los vectores factoriales rotados oblicuamente de longitud igual a la unidad respecto a los vectores factoriales originales ortogonales y sin rotar, como se indica en la figura ilustrada anteriormente. La matriz TT’ proporciona los productos internos de los cosenos direccionales de todos los pares posibles de vectores factoriales rotados oblicuos. La matriz Obli es simetrica, ya que r ij=r ji y tiene 1.0 en los elementos de la diagonal puesto que la correlacion de cada factor consigo mismo es 1.0.
Como A^A es la matriz C, la matriz de correlaciones entre los vectores de referencia ya mencionanda, entonces se reduce a Obli = DC^-1D. Donde D son los valores de la diagonal de D.
Formulas para la matriz patron y la matriz estructura
La rotacion oblicua de los vectores de referencia termina con la formula
A^A = V
Donde A es la matriz de los pesos factoriales no rotados, ^A es la matriz con columnas de cosenos direccionales de lo vectores de referencia respecto a los vectores factoriales no rotados y V es la matriz de correlaciones de las variables con los vectores de referencia. Por analogia,
AT’=S
Donde las columnas de T’ son los cosenos direccionales de los vectores factoriales oblicuos respecto a los vectores factoriales no rotados y S es la matriz de correlaciones de las variables con los vectores factoriales oblicuos, estos es, la estructura factorial. La transpuesta T’ simplemente, coloca estos cosenos direccionales en las columnas en lugar de que en las filas.
La matriz de patron es la siguiente
P= VD^-1
El efecto de multiplicar la matriz de la estructura de los vectores de referencia V por D^-1 es simplemente multiplicar la columna i de la matriz V por el elemento dii^1 de D^-1. La matriz D^-1 es tambien una matriz diagonal cuyos elementos son iguales a los reciprocos de los elementos correspondientes de la matriz D.
Reproduccion de R a partir de los pesos factoriales oblicuos
Anteriormente se establecio que Z= AuFu, donde Z es la matriz de puntuaciones de las variables, Au es la matriz de los pesos factoriales no rotados, de los factores comunes, especificos y de error, y Fu es la matriz de puntuaciones factoriales para los factores ortogonales no rotados. La matriz de correlaciones tambien puede representarse por la ecuación siguiente:
R = 1/N(ZZ’)
Donde Z es la matriz de puntuaciones de variables. Cada fila de Z, multiplicada internamente por una columna de Z’, la transpuesta de Z, da la suma de los productos cruzados de las puntuaciones tipicas que, al ser dividida por, da el coeficiente de correlacion para el par de variables implicadas. Sustituyendo Z=AuFu se obtiene
R = Au[(FuFu’)/N]Au’
Soluciones oblicuas frente a soluciones ortogonales
Las complejidades que conlleva la utilización de solucione oblicuas y la carga adicional de calculos implicados han llevado a muchos investigadores a decidirse por las soluciones ortogonales, que son mucho mas simples. Algunos investigadores, por ejemplo, Cattell(1952), han insistido en la utilización de soluciones oblicuas porque piensan que los factores en la naturaleza no tienen tendencia a ser ortogonales y que, por lo tanto, el uso de soluciones ortogonales esta injustificado. Otros investigadores, como Guildford, han preferido generalmente mantenerse en las soluciones factoriales ortogonales basandose en que desean desarrollar construcciones tan independientes unas de las otras como sea posible. La aceptación demasiado rapida de soluciones oblicuas puede inhibir la busqueda de construcciones realmente independientes.
Capitulo 7
ESTRUCTURA SIMPLE Y OTROS CRITERIOS ROTACIONALES
Thurstine (1947) intento probar el valor de una estructura simple presentando una solucion a su famoso problema de las cajas. Reunio una muestra de 20 cajas y tomo varias funciones matematicas de tres dimensiones basicas para obtener un total de 20 variables. Empleo funciones x,y y z, x^2 +y^2 y funciones logaritmicas. De las intercorrelaciones de esas variables obtuvo tres dimensiones basicas llamadas: Longitud, anchura y altura.
Todos estos problemas demuestran, sin embargo, que hay casos en que en donde la estructura simple oblicua funciona. Debido a que no hay prueba de que siempre este metodo funcione. El uso indiscriminado de la estructura simple oblicua como criterio puede concluir a unas soluciones muy distorsionadas. Lan conclusión que llego el autor como resultado de sus experimentos fue que, con muchas variables y muchos factores en una matriz factorial, los hiperplanos pueden ser mejorados hasta proporciones extremadamente altas de pesos proximos a cero si se permite que los factores lleguen a estar lo suficientemente oblicuos entre si. La localizacion de buenos hiperplanos no es siempre suficiente para establecer buenas posiciones factoriales, tampoco no es necesario rotar para obtener los mejores hiperplanos oblicuos obteniendo asi la mejor solucion posible.
Una solucion rotacional no es nada mas que una interpretación de los datos. En anteriores capitulos se ha mostrado que hay infinitas interpretaciones posibles para la mayoria de las matrices de correlaciones en la vida real. La mejor solucion de estructura simple oblicua proporciona frecuentemente una interpretación que el investigador encuentra util para sus propositos. Sin embargo, todavía no ha sido probado que pueda ser utilizado para procedimientos cientificos.
Criterios Alternativos de Rotacion
Aunque la rotacion normal hacia la estructura simple oblicua, o hacia la mejor aproximación ortogonal a ella, ha sido el metodo de rotacion mas favorecido tradicionalmente. De hecho, en el momento presente, el enfoque tradicional de estructura simple, ha sido sustituido en popularidad por metodos para computador.
Rotacion para lograr la consistencia con resultados anteriores
El progreso cientifico significativo usando resultados de analisis factoriales surge con mayor probabilidad de una serie de investigaciones programadas que de un unico estudio aislado. Los investigadores implicados en la investigación programada naturalmente buscan descubrimientos que puedan generalizarse a traves de estudios. Desean poder reproducir los descubrimientos en orden a ganar confianza con sus conclusiones. En sus estudios de habilidades humanas, Guilford (1967) y sus colaboraciones han estado generalmente mas interesados en sus rotaciones en relacionar los resultadoes presentes con los descubrimientos pasados, que en satisfacer el criterio de estructura simple. Tambien se han adherido generalmente a soluciones ortogonales.
El metodo de adiciones ortogonales se clasifica quiza mejor bajo el encabezamiento de rotacion para lograr la consistencia con los resultados anteriores. Un investigador puede comenzar con un grupo de variables que definen un factor bien establecido. A continuación, situa un segundo factor en angulo recto con el primero, usando las variables existentes e intetando desarrollar otras nuevas hasta que el segundo factor este bien definido. Luego, continua desarrollando un tercer factor, ortogonal respecto a los dos primeros, y asi sucesivamente. En cada nuevo paso, los resultados estan construidos sobre y hechos para mostrar consistencia con los descubrimientos anteriores.
Rotacion para concordar con hipótesis
Este enfoque, en algunas de sus aplicaciones, es muy similar al anterior en que, al rotar los resultados presentes para hacerlos consistentes con hechos conocidos, incluyendo descubrimientos procedentes de investigaciones previas, hay un intento en lograr una congruencia entre los resultados presentes y una hipótesis compleja sobre su naturaleza. En otros casos, la hipótesis sobre resultados presentes pueden ser estrictamente generadas en base a una teoria mas que en base a los resultados pasados.
Metodos analiticos de rotacion
La distinción basica entre los llamados metodos analiticos y no analiticos de rotacion es que en los metodos analiticos pueden ser reducidos a reglas claramente especificadas que no requieren ningun juicio por parte del investigador. Los metodos no analiticos, como la rotacion manual a estructura simple oblicua, requieren que el investigador ejercite su juicio para determinar que se debe hacer en las diversas etapas del proceso de rotacion.
Soluciones de estructura simple por computador
Aunque la rotacion a la estructura simple oblicua no se clasifica como un metodo analitico, es posible formular un conjunto de reglas para aplicarlas por computador con el proposito de buscar soluciones que parezcan satisfacer las demandas de la estructura simple oblicua. Puesto que tales aplicaciones envuelven un conjunto explicito de reglas, seran clasificados como metodos analiticos.
Cattell y Muerle (1960) desarrollaron el programa Maxplane para rotacion factorial a estructura simple oblicua. Este programa cuenta con el numero de puntos que caen en el hiperplano para cada factor, por ejemplo, dentro del rango + .10 a -.10. Los factores se rotan sistemáticamente por computador para incrementar el numero de puntos en los hiperplanos.
Soluciones de tipo Procrusto
Las soluciones de tipo procusto se clasifican aquí como de carácter analitico, porque en ellas se establece un conjunto especifico de reglas que gobierna cuantas rotaciones se han de hacer para transformar la matriz factorial no rotada en una forma máximamente similar en algun sentido a una matriz objetivo predeterminada. La matrix objetivo puede tener especificados todos los valores o solo alguno de ellos.
Metodos de rotacion analitca ortogonal
El descontento con la subjetividad y la vaguedad de los criterios de la estructura simple condujo a un esfuerzo para proporcionar enunciados matematicos mas precisos de los criterios que debe satisfacer una solucion rotacional. Se publicaron varios metodos en los anos cincuenta que demostraron ser bastante similares entre si( Carroll, 1953; Ferguson, 1954; Neuhaus y Wrigley, 1954; Saunders, 1960) según Harman (1967), Harman denomina a estos metodos similares, colectivamente, metodo Quartimax. La idea esencial subyacente a este enfoque es rotar de tal modo que cada variable tenga, idealmente, un peso principal en uno, y uno, de los factores. Es decir, cada variable aparecia como una medida factorial pura. En la practica, naturalmente, no es posible, en general, obtener una solucion idealizada semejante. Solo se consiguien aproximaciones tan precisas como es posible en la solucion Quartimax.
Metodos de rotacion analiticos oblicuos
Los metodos de busqueda de la estructura simple por computador y los enfoques de tipo Procrusto que producen soluciones oblicuasya han sido mencionadas. Mucho antes del desarrollo de estos metodos, sin embargo, Thurstone(1947) presento su metodo de Plano Unico, que es un procedimiento semianalitico para la obtención de soluciones oblicuas. El investigador comienza con una variable dada, pensada para ser una variable que probablemente defina un factor particular. Se situa un vector de prueba a traves de esta variable y se obtienen las proyecciones de los vectores de datos sobre este vector de prueba. Se trazan estos valores junto a todos los vectores factoriales no rotados y se realiza simultaneamente un ajuste en la posición del vector de prueba con respecto a todos lo ejes factoriales no rotados para mejorar la estructura simple. Se calculan las proyecciones de los vectores de datos sobre el nuevo vector de prueba y se realizan nuevo diagramas. Se hace un nuevo ajuste en la posición del vector de prueba con respecto a todos los ejes factoriales no rotados y se realiza simultaneamente un ajuste en la posición del vector de prueba si es necesario. El proceso continua hasta que no necesiten nuevos ajustes.
El metodo de Varimax de Kaiser
(1958,1959) Se basa en la idea de que el factor mas interpretable tiene pesos altos y bajos, pero pocos de magnitud intermedia. Tal factor tendria una gran varianza de pesos al cuadrado, ya que los valores estan separados al maximo. Usando la varianza como valor maximo como se ilustra en la iguiente formula:
V=Sum (desviación estandar de j)^2, desde j=1, hasta m.
En la practica, V no es maximizado en una sola operación. Mas bien,los factores unos con otros sistemáticamente, dos cada vez y todos los pares posibles,maximizando cada vez la (desviación estandar 1)^2 + (desviación estandar 2)^2. Despues de que cada factor ha sido rotado con cada uno de los demas factores, completando un ciclo, se calcula V y comienza otro ciclo. Estos ciclos se repiten hasta que V no se pueda incrementar.
Considere lo siguiente:
Donde V1 es una matrix de pesos factoriales que han de ser rotados para maximizar (desviación estandar 1)^2 + (desviación estandar 2)^2, V2 es la matrix de pesos factoriales para la cual (desviación estandar i)^2 + (desviación estandar j)^2 es una maximo, y ^A es la matrix de transformaciones ortogonales que realiza la rotacion deseada. Los valores en V1 son conocidos. Los valores en V2 no. Sin embargo, los valores en V2 son funciones del angulo Phi y los valores en v1, como sigue:
Xj=xj Cos(Phi) + yj Sen(Phi)
Yj=-xj Sen(Phi) + yi Cos(Phi).
La suma de las variazas que ha de maximizarse viene dada por:
(desviación estandar 1)^2 + (desviación estandar 2)^2 = (1/n)*Sum(X^2)^2-(1/n^2)*Sum(X^2)^2-(1/n)* Sum(Y^2)^2-(1/n^2)*Sum(Y^2)^2.
El metodo de criterio en Tandem
Principio I. Si dos variables entan correlacionadas, deben aparecer en el mismo factor.
Rotacion por el criterio I de los criterio en tandem
El principio I puede ser expresado matemáticamente de la siguiente manera:
F = Sum desde k=1, hasta m * Sum desde i=1, hasta m* Sum desde j=1, hasta m (r’ij^2) (aik^2) (ajk^2)
Donde r ij = Sum (aik ajk) desde k =1, hasta n, la correlacion reproducida entre la variable i y la variable j,
a ik es el peso factorial de la variable i en el factor k,
a jk es el peso factorial de la variable j en el factor k.
La funcion F debe maximizarse. Esto ocurrira cuando las variable que estan correlacionadas entre si esten puestas en el mismo factor. Como el metodo de Varimax, la maximización de la funcion F se realiza rotando los factore de dos en dos, maximizando la funcion en cada rotacion separadamente. Despues de que se ha rotado cada factor con cada uno de los otros factores, y de este modo se ha completado un ciclo, se calcula el valor de la funcion.
Al estar interesados en mantener las construcciones factoriales lo mas independientes posibles entres si, se debe mantener los angulos entre los factores lo mas cerca de 90 grados. Como en la siguiente grafica:
En la misma aparecen resultados de las rotaciones ortoganales del problema de las 12 variables. En el primer trazado del factor I con el factor III, como aparece en la siguiente grafica:
El vector de referencia I se mueve a la posición I4 desde la posición ortogonal final original en I3. El vector de referencia I4 esta realmente mas alejado de los puntos con proyecciones altas sobre este valor de referencia que lo que estaba I3, asi que la rotacion no ha hecho para acercar el vector de referencia I a un grupo de puntos con pesos altos en I. Como esta es la primera rotacion oblicua por vez primera el vector de referencia I y el factor I no coincidiran. Hasta que un vector de referencia sea rotado oblicuamente respecto a otro vector de referencia, aquel coincidira con su vector factorial asociado.
Los calculos para alterar A, la matrix de transformación ortogonal final, para incluir esta primera rotacion oblicua.
I’ = I – tg (phi)* III
Lan 11 = .711 - .2(.439) = .711 -0.88 = .623
Lan 21 = .057 -.2(-.237) = .057 + .047 = .104
Lan 31 = -.201-.2(.845) = -.201-.169 = -.370
Lan 41 = -.671-.2(.192) = -.671-.038=-.709
El hiperplano perpendicular al vector de referencia con posición III4 esta mejor situado que lo que estaba en la posición original perpendicular a III3. Los calculos para obtener la nueva columna III de la matriz A para llevar a cabo la rotacion son los siguientes:
III’ = III - .17(I)
Lan 13 = .439 - .17(.711) = .318
Lan 23 = -.237 - .17(.057) = -.247
Lan 33 = .845 -.17(-.201) = .879
Lan 43 = .192 -.17(-.671)=.306
La suma de los cuadrados de los valores de Lan i3 no normalizados de las Esc. es 1.0284 y su raiz cuadrada es 1.014
La matriz de correlaciones entre los vectores de referencia C, como sigue;
C = A1 ‘A1
Se multiplica la transpuesta de la matriz de transformación por la matriz de transformación misma para tener la matriz de correlaciones entre los vectores de referencia.
La matriz final de correlaciones entre los vectores de referencia para el problema de 12 variables es de esta forma:
I II III IV
I 1.000 .000 -.343 -.411
II .000 1.000 .000 -.001
III -.343 .000 1.000 .040
IV -.411 -.001 .040 1.000
Los ejes factoriales coinciden con las intersecciones de los hiperplanos. Si dos lineas de interseccion tales mantienen un angulo entre ellas menor de 90 grados, entonces el angulo entre los vectores de referencia perpendiculares a ellas debe ser mayor de 90 grados, produciendo una correlacion negativa. Sin embargo, si las lineas de interseccion de los hiperplanos mantienen un angulo mayor de 90 grados, sus normales, los vectores de referencia, deben mantener un angulo entre ellos menor de 90 grados.
Obtencion de las matrices adicionales
Consideremos la operación matricial esquematica de la figura Ilustrada:
Ignorando por un momento, la parte inferior T de la matrix de la izquierda y la parte inferior D de la matriz de la derecha, esta operación es justamente A ^A = V. Que producia la estructura final de los vectores de referencia V, multiplicando la matrix de pesos no rotados.
Puesto que los vectores factoriales rotados que estan representados por las filas de T en la figura ilustrada, tienen como longitud la unidad, y los vectores factoriales no rotados tienen como longitud la unidad, las correlaciones entre estos dos conjuntos de vectores vienen dadas por
Rij = hi hj Cos(Phi ij) = (1.0)(1.0) Cos(Phi ij) = Cos(Phi ij)
Los valores de cada fila de la matriz T son, por lo tanto, los cosenos direccionales de los vectores factoriales rotados oblicuos respecto a los vectores factoriales no rotados ortogonales. Por lo tanto, la fila i de la matriz T y la columna j de la matriz ^A representan los cosenos direccionales del vector factorial i y del vector de referencia j, respectivamente. Cuando i=j, estos son el vector factorial y el vector de referencia que se corresponden mutuamente en la solucion oblicua.
Correlaciones entre los factores
La matriz de correlaciones entre los factores oblicuos puede representar como sigue:
Obli= TT’
Donde T, como antes, es una matriz cuyas filas son cosenos direccionales de los vectores factoriales rotados oblicuamente de longitud igual a la unidad respecto a los vectores factoriales originales ortogonales y sin rotar, como se indica en la figura ilustrada anteriormente. La matriz TT’ proporciona los productos internos de los cosenos direccionales de todos los pares posibles de vectores factoriales rotados oblicuos. La matriz Obli es simetrica, ya que r ij=r ji y tiene 1.0 en los elementos de la diagonal puesto que la correlacion de cada factor consigo mismo es 1.0.
Como A^A es la matriz C, la matriz de correlaciones entre los vectores de referencia ya mencionanda, entonces se reduce a Obli = DC^-1D. Donde D son los valores de la diagonal de D.
Formulas para la matriz patron y la matriz estructura
La rotacion oblicua de los vectores de referencia termina con la formula
A^A = V
Donde A es la matriz de los pesos factoriales no rotados, ^A es la matriz con columnas de cosenos direccionales de lo vectores de referencia respecto a los vectores factoriales no rotados y V es la matriz de correlaciones de las variables con los vectores de referencia. Por analogia,
AT’=S
Donde las columnas de T’ son los cosenos direccionales de los vectores factoriales oblicuos respecto a los vectores factoriales no rotados y S es la matriz de correlaciones de las variables con los vectores factoriales oblicuos, estos es, la estructura factorial. La transpuesta T’ simplemente, coloca estos cosenos direccionales en las columnas en lugar de que en las filas.
La matriz de patron es la siguiente
P= VD^-1
El efecto de multiplicar la matriz de la estructura de los vectores de referencia V por D^-1 es simplemente multiplicar la columna i de la matriz V por el elemento dii^1 de D^-1. La matriz D^-1 es tambien una matriz diagonal cuyos elementos son iguales a los reciprocos de los elementos correspondientes de la matriz D.
Reproduccion de R a partir de los pesos factoriales oblicuos
Anteriormente se establecio que Z= AuFu, donde Z es la matriz de puntuaciones de las variables, Au es la matriz de los pesos factoriales no rotados, de los factores comunes, especificos y de error, y Fu es la matriz de puntuaciones factoriales para los factores ortogonales no rotados. La matriz de correlaciones tambien puede representarse por la ecuación siguiente:
R = 1/N(ZZ’)
Donde Z es la matriz de puntuaciones de variables. Cada fila de Z, multiplicada internamente por una columna de Z’, la transpuesta de Z, da la suma de los productos cruzados de las puntuaciones tipicas que, al ser dividida por, da el coeficiente de correlacion para el par de variables implicadas. Sustituyendo Z=AuFu se obtiene
R = Au[(FuFu’)/N]Au’
Soluciones oblicuas frente a soluciones ortogonales
Las complejidades que conlleva la utilización de solucione oblicuas y la carga adicional de calculos implicados han llevado a muchos investigadores a decidirse por las soluciones ortogonales, que son mucho mas simples. Algunos investigadores, por ejemplo, Cattell(1952), han insistido en la utilización de soluciones oblicuas porque piensan que los factores en la naturaleza no tienen tendencia a ser ortogonales y que, por lo tanto, el uso de soluciones ortogonales esta injustificado. Otros investigadores, como Guildford, han preferido generalmente mantenerse en las soluciones factoriales ortogonales basandose en que desean desarrollar construcciones tan independientes unas de las otras como sea posible. La aceptación demasiado rapida de soluciones oblicuas puede inhibir la busqueda de construcciones realmente independientes.
Capitulo 7
ESTRUCTURA SIMPLE Y OTROS CRITERIOS ROTACIONALES
Thurstine (1947) intento probar el valor de una estructura simple presentando una solucion a su famoso problema de las cajas. Reunio una muestra de 20 cajas y tomo varias funciones matematicas de tres dimensiones basicas para obtener un total de 20 variables. Empleo funciones x,y y z, x^2 +y^2 y funciones logaritmicas. De las intercorrelaciones de esas variables obtuvo tres dimensiones basicas llamadas: Longitud, anchura y altura.
Todos estos problemas demuestran, sin embargo, que hay casos en que en donde la estructura simple oblicua funciona. Debido a que no hay prueba de que siempre este metodo funcione. El uso indiscriminado de la estructura simple oblicua como criterio puede concluir a unas soluciones muy distorsionadas. Lan conclusión que llego el autor como resultado de sus experimentos fue que, con muchas variables y muchos factores en una matriz factorial, los hiperplanos pueden ser mejorados hasta proporciones extremadamente altas de pesos proximos a cero si se permite que los factores lleguen a estar lo suficientemente oblicuos entre si. La localizacion de buenos hiperplanos no es siempre suficiente para establecer buenas posiciones factoriales, tampoco no es necesario rotar para obtener los mejores hiperplanos oblicuos obteniendo asi la mejor solucion posible.
Una solucion rotacional no es nada mas que una interpretación de los datos. En anteriores capitulos se ha mostrado que hay infinitas interpretaciones posibles para la mayoria de las matrices de correlaciones en la vida real. La mejor solucion de estructura simple oblicua proporciona frecuentemente una interpretación que el investigador encuentra util para sus propositos. Sin embargo, todavía no ha sido probado que pueda ser utilizado para procedimientos cientificos.
Criterios Alternativos de Rotacion
Aunque la rotacion normal hacia la estructura simple oblicua, o hacia la mejor aproximación ortogonal a ella, ha sido el metodo de rotacion mas favorecido tradicionalmente. De hecho, en el momento presente, el enfoque tradicional de estructura simple, ha sido sustituido en popularidad por metodos para computador.
Rotacion para lograr la consistencia con resultados anteriores
El progreso cientifico significativo usando resultados de analisis factoriales surge con mayor probabilidad de una serie de investigaciones programadas que de un unico estudio aislado. Los investigadores implicados en la investigación programada naturalmente buscan descubrimientos que puedan generalizarse a traves de estudios. Desean poder reproducir los descubrimientos en orden a ganar confianza con sus conclusiones. En sus estudios de habilidades humanas, Guilford (1967) y sus colaboraciones han estado generalmente mas interesados en sus rotaciones en relacionar los resultadoes presentes con los descubrimientos pasados, que en satisfacer el criterio de estructura simple. Tambien se han adherido generalmente a soluciones ortogonales.
El metodo de adiciones ortogonales se clasifica quiza mejor bajo el encabezamiento de rotacion para lograr la consistencia con los resultados anteriores. Un investigador puede comenzar con un grupo de variables que definen un factor bien establecido. A continuación, situa un segundo factor en angulo recto con el primero, usando las variables existentes e intetando desarrollar otras nuevas hasta que el segundo factor este bien definido. Luego, continua desarrollando un tercer factor, ortogonal respecto a los dos primeros, y asi sucesivamente. En cada nuevo paso, los resultados estan construidos sobre y hechos para mostrar consistencia con los descubrimientos anteriores.
Rotacion para concordar con hipótesis
Este enfoque, en algunas de sus aplicaciones, es muy similar al anterior en que, al rotar los resultados presentes para hacerlos consistentes con hechos conocidos, incluyendo descubrimientos procedentes de investigaciones previas, hay un intento en lograr una congruencia entre los resultados presentes y una hipótesis compleja sobre su naturaleza. En otros casos, la hipótesis sobre resultados presentes pueden ser estrictamente generadas en base a una teoria mas que en base a los resultados pasados.
Metodos analiticos de rotacion
La distinción basica entre los llamados metodos analiticos y no analiticos de rotacion es que en los metodos analiticos pueden ser reducidos a reglas claramente especificadas que no requieren ningun juicio por parte del investigador. Los metodos no analiticos, como la rotacion manual a estructura simple oblicua, requieren que el investigador ejercite su juicio para determinar que se debe hacer en las diversas etapas del proceso de rotacion.
Soluciones de estructura simple por computador
Aunque la rotacion a la estructura simple oblicua no se clasifica como un metodo analitico, es posible formular un conjunto de reglas para aplicarlas por computador con el proposito de buscar soluciones que parezcan satisfacer las demandas de la estructura simple oblicua. Puesto que tales aplicaciones envuelven un conjunto explicito de reglas, seran clasificados como metodos analiticos.
Cattell y Muerle (1960) desarrollaron el programa Maxplane para rotacion factorial a estructura simple oblicua. Este programa cuenta con el numero de puntos que caen en el hiperplano para cada factor, por ejemplo, dentro del rango + .10 a -.10. Los factores se rotan sistemáticamente por computador para incrementar el numero de puntos en los hiperplanos.
Soluciones de tipo Procrusto
Las soluciones de tipo procusto se clasifican aquí como de carácter analitico, porque en ellas se establece un conjunto especifico de reglas que gobierna cuantas rotaciones se han de hacer para transformar la matriz factorial no rotada en una forma máximamente similar en algun sentido a una matriz objetivo predeterminada. La matrix objetivo puede tener especificados todos los valores o solo alguno de ellos.
Metodos de rotacion analitca ortogonal
El descontento con la subjetividad y la vaguedad de los criterios de la estructura simple condujo a un esfuerzo para proporcionar enunciados matematicos mas precisos de los criterios que debe satisfacer una solucion rotacional. Se publicaron varios metodos en los anos cincuenta que demostraron ser bastante similares entre si( Carroll, 1953; Ferguson, 1954; Neuhaus y Wrigley, 1954; Saunders, 1960) según Harman (1967), Harman denomina a estos metodos similares, colectivamente, metodo Quartimax. La idea esencial subyacente a este enfoque es rotar de tal modo que cada variable tenga, idealmente, un peso principal en uno, y uno, de los factores. Es decir, cada variable aparecia como una medida factorial pura. En la practica, naturalmente, no es posible, en general, obtener una solucion idealizada semejante. Solo se consiguien aproximaciones tan precisas como es posible en la solucion Quartimax.
Metodos de rotacion analiticos oblicuos
Los metodos de busqueda de la estructura simple por computador y los enfoques de tipo Procrusto que producen soluciones oblicuasya han sido mencionadas. Mucho antes del desarrollo de estos metodos, sin embargo, Thurstone(1947) presento su metodo de Plano Unico, que es un procedimiento semianalitico para la obtención de soluciones oblicuas. El investigador comienza con una variable dada, pensada para ser una variable que probablemente defina un factor particular. Se situa un vector de prueba a traves de esta variable y se obtienen las proyecciones de los vectores de datos sobre este vector de prueba. Se trazan estos valores junto a todos los vectores factoriales no rotados y se realiza simultaneamente un ajuste en la posición del vector de prueba con respecto a todos lo ejes factoriales no rotados para mejorar la estructura simple. Se calculan las proyecciones de los vectores de datos sobre el nuevo vector de prueba y se realizan nuevo diagramas. Se hace un nuevo ajuste en la posición del vector de prueba con respecto a todos los ejes factoriales no rotados y se realiza simultaneamente un ajuste en la posición del vector de prueba si es necesario. El proceso continua hasta que no necesiten nuevos ajustes.
El metodo de Varimax de Kaiser
(1958,1959) Se basa en la idea de que el factor mas interpretable tiene pesos altos y bajos, pero pocos de magnitud intermedia. Tal factor tendria una gran varianza de pesos al cuadrado, ya que los valores estan separados al maximo. Usando la varianza como valor maximo como se ilustra en la iguiente formula:
V=Sum (desviación estandar de j)^2, desde j=1, hasta m.
En la practica, V no es maximizado en una sola operación. Mas bien,los factores unos con otros sistemáticamente, dos cada vez y todos los pares posibles,maximizando cada vez la (desviación estandar 1)^2 + (desviación estandar 2)^2. Despues de que cada factor ha sido rotado con cada uno de los demas factores, completando un ciclo, se calcula V y comienza otro ciclo. Estos ciclos se repiten hasta que V no se pueda incrementar.
Considere lo siguiente:
Donde V1 es una matrix de pesos factoriales que han de ser rotados para maximizar (desviación estandar 1)^2 + (desviación estandar 2)^2, V2 es la matrix de pesos factoriales para la cual (desviación estandar i)^2 + (desviación estandar j)^2 es una maximo, y ^A es la matrix de transformaciones ortogonales que realiza la rotacion deseada. Los valores en V1 son conocidos. Los valores en V2 no. Sin embargo, los valores en V2 son funciones del angulo Phi y los valores en v1, como sigue:
Xj=xj Cos(Phi) + yj Sen(Phi)
Yj=-xj Sen(Phi) + yi Cos(Phi).
La suma de las variazas que ha de maximizarse viene dada por:
(desviación estandar 1)^2 + (desviación estandar 2)^2 = (1/n)*Sum(X^2)^2-(1/n^2)*Sum(X^2)^2-(1/n)* Sum(Y^2)^2-(1/n^2)*Sum(Y^2)^2.
El metodo de criterio en Tandem
Principio I. Si dos variables entan correlacionadas, deben aparecer en el mismo factor.
Rotacion por el criterio I de los criterio en tandem
El principio I puede ser expresado matemáticamente de la siguiente manera:
F = Sum desde k=1, hasta m * Sum desde i=1, hasta m* Sum desde j=1, hasta m (r’ij^2) (aik^2) (ajk^2)
Donde r ij = Sum (aik ajk) desde k =1, hasta n, la correlacion reproducida entre la variable i y la variable j,
a ik es el peso factorial de la variable i en el factor k,
a jk es el peso factorial de la variable j en el factor k.
La funcion F debe maximizarse. Esto ocurrira cuando las variable que estan correlacionadas entre si esten puestas en el mismo factor. Como el metodo de Varimax, la maximización de la funcion F se realiza rotando los factore de dos en dos, maximizando la funcion en cada rotacion separadamente. Despues de que se ha rotado cada factor con cada uno de los otros factores, y de este modo se ha completado un ciclo, se calcula el valor de la funcion.
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