Persentacion TeoríA De Redes
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martes, 9 de febrero de 2010
Redes Neuronales Artificiales
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Redes Neuronales Artificiales
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jueves, 22 de octubre de 2009
Presentacion 2 Modelos Financieros
Una Taxonomia de Costos de Transaccion
Probablemente la forma mas facil de entender y distinguir los costos de transacción es categorizarlos en terminos de ser costos de transacciones fijas versus variables, y los costos de transacciones explicitas versus implicitas son sugeridos por Kissell y Glantz.
Los costos de transacciones fijas son independientes de factores como el tamano del intercambio. En contraste, los costos de transacciones variables depende en algo o en todo en lo factores. En otras palabras, cuando los costos de transacciones fijas son “lo que son”, los gerentes de portafolio y inventores pueden buscar para reducir, optimizar, y manejar efectivamente los costos de transacción variables.
Costos de transacción explicitos
Comisiones de intercambio y cargos, impuestos, y subastas son explicitos o costos de transacción observables.
Comisiones y Cargos
Las comisiones se le pagan a los que manejan las quiebras para ejecutar intercambios. Normalmente, comisiones en intercambios de seguridad son negociables. Cargos de una institución se queda con las sguridades guardados seguramente son referidas cargos custiodales. Cuando la propiedad sobre una accion se transfiere, el que invierte se le carga un cargo de transferencia.
Impuestos
Los impuestos mas comunes son ganes capitales de impuestos e impuestos en dividendos. La ley de impuestos distingue entre dos tipos de ganancias de impuestos capitales: a corto plazo y a largo plazo.
Costos implicitos de transacción
Retrasos invirtiendo, los costos de impactos del mercado, riesgo del precio del movimiento, tiempo de mercadeo, y el costo de oportunidad son implicitos o no observables de costos de transacción.
Retraso de Invertir
Normalmente, hay un retraso entre el tiempo cuando el gerente de portafolio hace una decision de comprar/vender de una seguridad y cuando el gerente de portafolio se trae al mercado por un accionista. Si el precio de los cambios se la seguridad durante este tiempo, el cambio de precio representa el costo de retraso invertido, o el costo de no poder lograrlo inmediantemente.
Costos de Impacto del Mercado
Los costos de impacto del mercado es la desviaciones del precio de transacción del precio del mercado (medianos) que podrían prevalecer si el intercambio no habria ocurrido.El movimiento del precio es el costo, el costo de impacto del mercado, para demandar liquidad o imedieciedad.
Riesgo de Movimiento de Riesgo
En General, el mercado de intercambio exhibe un cambio positivo que aumenta el riego del precio de movimiento. Similarmente, las acciones individuales, al menos temporalmente, van de arriba hacia abajo.
Costos de Tiempo de Mercado
Los costos de tiempo de mercado se deben al movimiento en el precio de una seguridad al momento de la transacción que puede ser atribuida para otros participantes del mercado o un mercado general volátil.
Costos de Oportunidad
El costo de no haber transacción representa en costo de oportunidad. Por ejemplo,
cuando cierta accion falla en ejecutarse. El gerente de portafolio pierde una oportunidad. Comunmente, este costo se define como la diferencia en funcionamiento entre lo que desea invertir el gerente de portafolio y lo que actualmente invierte.
Costos de Liquidad y de Transaccion
Liquidad es creado por agentes de transacción en los mercados financieros cuando se compran y se venden seguridades. Creadores del Mercado y manejadores de quiebras no crean liquidad, ellos son intermediarios quienes facilitan la ejecución de intercambios y mantienen un mercado ordenado.
Los costos de Liquidad y de transacción estan interrelacionados. Un gran mercado de liquidad es una en donde habian transacciones grandes pueden ser inmediatamente ejecutar sin incurrir en costos de transacciones altos. En un mercado indefinido liquido, los inversionistas podrian realizar transacciones bien grandes directamente a los precios de subastas.
Mediciones de Impacto de Mercado
El problema de medir costos de transaciones implicitas es que es la medida cierta, el cual la diferencia entre el precio de la accion en la ausencia del dinero del gerente de intercambio y el precio de ejecución, no es observable. El precio de ejecución es dependiente en condiciones de demanda al margen. Asi que, el precio de ejecución puede ser influenciado por inversionistas competitiva quienes buscan una ejecución inmediata o por otros inventores con motivos similares para intercambio.
La Medida de Petrade usa precios que ocurren antes de o en la decision del intercambio, como un mercado de banca, al igual que el precio de apertura en el mismo dia o precio de cierre del dia anterior.
La Medida de Postrade usa precios ocurriendo después de la decisión para intercambiar como un mercado de banca, como el precio de cierre de un dia de intercambio o el precio de apertura en el proximo dia.
La Medida Promedio o “El Mismo Dia” usa precios promedio de un numero largo de intercambios durante el dia de la decisión del intercambio, tal como el precio del volumen promedio, calculado sobre todas las transacciones in la securidad.
Prediciendo y Modelando el Impacto del Mercado
Los costos de la transacción explicita son relativamente facil de calcular y predecir. La metodologia es un factor linear en donde el impacto del mercado es una variable dependiente.
Factores basados en intercambio
1. Tamano del intercambio
2. Tamano relativo del intercambio
3. Precio del mercado de liquidez
4. Tipo de intercambio
5. Eficiciencia y estilo de intercambio del inversionista
6. Caracteristicas especificas del mercado de intercambio
7. Tiempo de la sumisión de intercambio y el tiempo del intercambio
8. Tipo de orden
Factores basados en activos
1. Momento de precio
2. Precio volátil
3. Capitulizacion del Mercado
4. Crecimiento versus valor
5. Industria especifica o caracteristicas de sector
Un Modelo de Mercado de Factor Basado
Uno de los acciones mas comunes en practica y en la literatura del impacto de modelar mercados es a traves de un modelo de factor linear de la forma
MI(t) = Alfa + (Sum(Beta(i)*x(i) + Epsilon(t), donde i=1, hasta I)
Como sea, extensions de este modelo incluyendo condicionamiento volátil son tambien posibles. Analizando ambos, la media y las especificaciones volátil del impacto del mercado, podemos entender mejor y dirigir la transferencia entre los dos.
Incorporando Costos de Transacciones en Modelos de Alocacion de Acciones
Los modelos de alocacion de activos estandar generalmente ignora costos de transacción y otros costos relacionados al portafolio y revisiones de alocamiento. Como hemos visto, los costos de transacción estan lejos de ser insignificantes. Contrariamente, si los costos de las transacciones no se consideran pueden perderse gran parte de los reintegros. No importa que los fondos si los fondos son manejados efectivamente por el portafolio o el gerente de fondos, se puede aun mas hacer la diferencia intentando hacer el mejor papel del grupo consigo o un mercado de banca.
Un Ejemplo Sencillo
Cuando hay un rebalance en el portafolio, resolvemos la formulacion del riesgo de aversión del problema de media-varianza descrita arriba con Landa = 1, y con la funcion de penalidad del costo de transacción que toma la forma de:
TC(x) = .005* Sum|xi|, desde i=0, hasta N
Intercambio Optimo
Las decisiones del gerente de portafolio y el inversionista se basan en objetivos diferentes. El gerente de portafolio construye el portafolio optimo para reflejar el mejor intercambio entre reintegros esperados y el riesgo, dada la asignación de los costos de intercambio que prevalecen. El inversionista decide acerca del tiempo de a ejecución de los intercambios basados en el intercambio entre costos oportunistas y costos de impacto del mercado.
Podemos pensar acerca de costos oportunistas como la representación de la varianza del costo total de la transacción. Mas específicamente, nosotros definimos una estrategia de ejecución optima a ser una estrategia que es una solucion al problema de optimizacion
Min(1-Landa)E(TC)-LandaVar(TC), donde E(TC) y var(TC) denota la expectación y la varianza del costo total de transacciones, y Landa es un parametro de un riesgo de aversión.
Gerencia de Portafolio Integrado: Reintegros Mas Alla de lo Esperado y Riesgo de Portafolio
Intercambio de equidad deberia verse separadamente de gerencia de portafolio de equidad. En lo contrario, la gerencia de los costos en equidad de intercambios es una parte integral de cualquier estrategia gerencial de invertir satisfactoriamente. MSCI Barra afirma que la mejor manera de invertir se basa en consideración cuidadosa de cuatro elementos clave:
1. Formar expectaciones de reintegro realistas.
2. Controlar el riesgo del portafolio
3. Controlar eficientemente los costos de intercambio
4. Monitoreo total del funcionamiento de inversiones
Aplicando La Selección del Portafolio a la Practica
En la presentacion de optimizacion de la media varianza, portafolios eficientes se forman eligiendo un activo basado en su interaccion con otros activos en el portafolio, y no solo en la base de funcionamiento por separado. La presentacion de la media-varianza solo sirve como un punto de partida. El acercamiento original propuesto por Markowitz se extiende frecuentemente en varias direcciones diferentes.
1. Ser un modelo de un periodo sencillo (myopic) que tiene que ser modificado para poder ser tomado en consideración en condiciones de un mercado cambiante sobre periodos multiples.
2. Los objetivos gerenciales del portafolio y sus politicas frecuentemente imponen restricciones mas alla de aquellos que tienen el modelo original.
Re-balanceando en el Marco de Optimizacion de la Media-Varianza
Despues que se decida en donde se van a alocar los activo, re balancear el portafolio es probablemente la segunda decisión mas importante para un portafolio de inversiones. Como ambiente economico y la mezcla de activos cambian, la gerencia de portafolio re balancea sus portafolios para incorporar nuevas visiones en reintegros experados y sus riesgos.
Los portafolios que se equivoquen los menos posible requieren mas re balanceo frecuente, el cual en turno aumentan sus costos de transacción. En general, podemos distinguir los siguientes tres resultados diferentes para re balancear un portafolio.
1. Re balancear por calendario. Re balancea el portafolio al lugar mas optimo a cierta frecuencia como semanal, mensual, cada 3 meses y asi sucesivamente.
2. Re balancear a cierto punto. Re balancea el portafolio a su composición mas optima una vez que este a cierto rango. Como por ejemplo, re balancea el portafolio cuando difiera el 10% de su peso optimo.
3. Re balancear por rangos. Re balancea el portafolio a un rango predeterminado una vez que se haya desviado de ahí.
Ejemplo: Re balancea El Portafolio Indice Del MSCI World
En un ejemplo de un portafolio que usa 18 paises del Indice de MSCI World en el periodo de Enero de 1980 hasta Mayo de 2004. Comparamos tres resultados simples en un re balanceo mensual del portafolio que contiene indices diferentes de paises contra el indice total:
1. Permanece con una porcion igual de cada activo por toda la muestra.
2. Re balancea el portafolio en forma mensual calculando la varianza minima global del portafolio, sin permitir ventas cortas.
3. Re balacea el portafolio de forma mesaual usando la formulacion de aversión de riesgos del problema de la optimizacion de la media-varianza con un coeficiente de riesgo de aberración, landa, igual a 2, sin permitir las ventas cortas.
Limites de Portafolio Usados Comunmente en Practica
Funciones Intitucionales y las decisiones de politica de inversiones frecuentemente llevan a unos limites mas complicados y los objetivos de portafolio gerencial mas que los de el presenten la formulacion original del problema de la media-varianza. Un gerente de portafolio tambien puede estar restringido en que tan concentrado el portafolio de inversiones puede ser en una industria o sector particular.
Se denota los pesos del portafolio corriente por w(o) y los pesos del portafolio que se quiere llegar por “w”, asi que la cantidad de intercambio se da por: x = w-w(0).
Limitaciones Lineales y Cuadraticas
Limitaciones solo-largas. Cuando las ventas pequenas no se permiten se requiere que “w” menor e igual que 0. Esto es un limite usado frecuentemente, como muchos fondos e inversionistas se les prohibe vender pocas acciones.
Limitaciones de devoluciones. Una devolucion alta de portafolio puede resultar en costos de transacciones largos que pueden hacer el re balanceo ineficiente. Una posibilidad seria limitar la cantidad de devoluciones permitida cuando se realiza una optimizacion de portafolio. Los limites de devoluciones mas comunes en un activo individual o todo el portafolio se da como:
Sum|xi| menor e igual U portafolio, donde i pertenece a I, donde I denota la inversion universal disponible.
Aguantando los Limites. Un portafolio bien diversificado deberia exhibir concentraciones grandes en activos especificos, industrias, sectores, o paises. Aguantando los limites al maximo en activos individuales puede ser controlado por el limite
Li < e igual que wi < e igual que Ui, donde Li y Ui son vectores representando los limites inferiores y superiores de aguantar los activos de i. Para limitar la exposición a un arreglo especifico Ii del universo disponible I, podemos introducir limites de la forma
Li < e igual que Sum ( wj < e igual que Ui, donde j = Ii, donde Li y Ui denotan las exposiciones minimas y maximas a Ii.
Probablemente la forma mas facil de entender y distinguir los costos de transacción es categorizarlos en terminos de ser costos de transacciones fijas versus variables, y los costos de transacciones explicitas versus implicitas son sugeridos por Kissell y Glantz.
Los costos de transacciones fijas son independientes de factores como el tamano del intercambio. En contraste, los costos de transacciones variables depende en algo o en todo en lo factores. En otras palabras, cuando los costos de transacciones fijas son “lo que son”, los gerentes de portafolio y inventores pueden buscar para reducir, optimizar, y manejar efectivamente los costos de transacción variables.
Costos de transacción explicitos
Comisiones de intercambio y cargos, impuestos, y subastas son explicitos o costos de transacción observables.
Comisiones y Cargos
Las comisiones se le pagan a los que manejan las quiebras para ejecutar intercambios. Normalmente, comisiones en intercambios de seguridad son negociables. Cargos de una institución se queda con las sguridades guardados seguramente son referidas cargos custiodales. Cuando la propiedad sobre una accion se transfiere, el que invierte se le carga un cargo de transferencia.
Impuestos
Los impuestos mas comunes son ganes capitales de impuestos e impuestos en dividendos. La ley de impuestos distingue entre dos tipos de ganancias de impuestos capitales: a corto plazo y a largo plazo.
Costos implicitos de transacción
Retrasos invirtiendo, los costos de impactos del mercado, riesgo del precio del movimiento, tiempo de mercadeo, y el costo de oportunidad son implicitos o no observables de costos de transacción.
Retraso de Invertir
Normalmente, hay un retraso entre el tiempo cuando el gerente de portafolio hace una decision de comprar/vender de una seguridad y cuando el gerente de portafolio se trae al mercado por un accionista. Si el precio de los cambios se la seguridad durante este tiempo, el cambio de precio representa el costo de retraso invertido, o el costo de no poder lograrlo inmediantemente.
Costos de Impacto del Mercado
Los costos de impacto del mercado es la desviaciones del precio de transacción del precio del mercado (medianos) que podrían prevalecer si el intercambio no habria ocurrido.El movimiento del precio es el costo, el costo de impacto del mercado, para demandar liquidad o imedieciedad.
Riesgo de Movimiento de Riesgo
En General, el mercado de intercambio exhibe un cambio positivo que aumenta el riego del precio de movimiento. Similarmente, las acciones individuales, al menos temporalmente, van de arriba hacia abajo.
Costos de Tiempo de Mercado
Los costos de tiempo de mercado se deben al movimiento en el precio de una seguridad al momento de la transacción que puede ser atribuida para otros participantes del mercado o un mercado general volátil.
Costos de Oportunidad
El costo de no haber transacción representa en costo de oportunidad. Por ejemplo,
cuando cierta accion falla en ejecutarse. El gerente de portafolio pierde una oportunidad. Comunmente, este costo se define como la diferencia en funcionamiento entre lo que desea invertir el gerente de portafolio y lo que actualmente invierte.
Costos de Liquidad y de Transaccion
Liquidad es creado por agentes de transacción en los mercados financieros cuando se compran y se venden seguridades. Creadores del Mercado y manejadores de quiebras no crean liquidad, ellos son intermediarios quienes facilitan la ejecución de intercambios y mantienen un mercado ordenado.
Los costos de Liquidad y de transacción estan interrelacionados. Un gran mercado de liquidad es una en donde habian transacciones grandes pueden ser inmediatamente ejecutar sin incurrir en costos de transacciones altos. En un mercado indefinido liquido, los inversionistas podrian realizar transacciones bien grandes directamente a los precios de subastas.
Mediciones de Impacto de Mercado
El problema de medir costos de transaciones implicitas es que es la medida cierta, el cual la diferencia entre el precio de la accion en la ausencia del dinero del gerente de intercambio y el precio de ejecución, no es observable. El precio de ejecución es dependiente en condiciones de demanda al margen. Asi que, el precio de ejecución puede ser influenciado por inversionistas competitiva quienes buscan una ejecución inmediata o por otros inventores con motivos similares para intercambio.
La Medida de Petrade usa precios que ocurren antes de o en la decision del intercambio, como un mercado de banca, al igual que el precio de apertura en el mismo dia o precio de cierre del dia anterior.
La Medida de Postrade usa precios ocurriendo después de la decisión para intercambiar como un mercado de banca, como el precio de cierre de un dia de intercambio o el precio de apertura en el proximo dia.
La Medida Promedio o “El Mismo Dia” usa precios promedio de un numero largo de intercambios durante el dia de la decisión del intercambio, tal como el precio del volumen promedio, calculado sobre todas las transacciones in la securidad.
Prediciendo y Modelando el Impacto del Mercado
Los costos de la transacción explicita son relativamente facil de calcular y predecir. La metodologia es un factor linear en donde el impacto del mercado es una variable dependiente.
Factores basados en intercambio
1. Tamano del intercambio
2. Tamano relativo del intercambio
3. Precio del mercado de liquidez
4. Tipo de intercambio
5. Eficiciencia y estilo de intercambio del inversionista
6. Caracteristicas especificas del mercado de intercambio
7. Tiempo de la sumisión de intercambio y el tiempo del intercambio
8. Tipo de orden
Factores basados en activos
1. Momento de precio
2. Precio volátil
3. Capitulizacion del Mercado
4. Crecimiento versus valor
5. Industria especifica o caracteristicas de sector
Un Modelo de Mercado de Factor Basado
Uno de los acciones mas comunes en practica y en la literatura del impacto de modelar mercados es a traves de un modelo de factor linear de la forma
MI(t) = Alfa + (Sum(Beta(i)*x(i) + Epsilon(t), donde i=1, hasta I)
Como sea, extensions de este modelo incluyendo condicionamiento volátil son tambien posibles. Analizando ambos, la media y las especificaciones volátil del impacto del mercado, podemos entender mejor y dirigir la transferencia entre los dos.
Incorporando Costos de Transacciones en Modelos de Alocacion de Acciones
Los modelos de alocacion de activos estandar generalmente ignora costos de transacción y otros costos relacionados al portafolio y revisiones de alocamiento. Como hemos visto, los costos de transacción estan lejos de ser insignificantes. Contrariamente, si los costos de las transacciones no se consideran pueden perderse gran parte de los reintegros. No importa que los fondos si los fondos son manejados efectivamente por el portafolio o el gerente de fondos, se puede aun mas hacer la diferencia intentando hacer el mejor papel del grupo consigo o un mercado de banca.
Un Ejemplo Sencillo
Cuando hay un rebalance en el portafolio, resolvemos la formulacion del riesgo de aversión del problema de media-varianza descrita arriba con Landa = 1, y con la funcion de penalidad del costo de transacción que toma la forma de:
TC(x) = .005* Sum|xi|, desde i=0, hasta N
Intercambio Optimo
Las decisiones del gerente de portafolio y el inversionista se basan en objetivos diferentes. El gerente de portafolio construye el portafolio optimo para reflejar el mejor intercambio entre reintegros esperados y el riesgo, dada la asignación de los costos de intercambio que prevalecen. El inversionista decide acerca del tiempo de a ejecución de los intercambios basados en el intercambio entre costos oportunistas y costos de impacto del mercado.
Podemos pensar acerca de costos oportunistas como la representación de la varianza del costo total de la transacción. Mas específicamente, nosotros definimos una estrategia de ejecución optima a ser una estrategia que es una solucion al problema de optimizacion
Min(1-Landa)E(TC)-LandaVar(TC), donde E(TC) y var(TC) denota la expectación y la varianza del costo total de transacciones, y Landa es un parametro de un riesgo de aversión.
Gerencia de Portafolio Integrado: Reintegros Mas Alla de lo Esperado y Riesgo de Portafolio
Intercambio de equidad deberia verse separadamente de gerencia de portafolio de equidad. En lo contrario, la gerencia de los costos en equidad de intercambios es una parte integral de cualquier estrategia gerencial de invertir satisfactoriamente. MSCI Barra afirma que la mejor manera de invertir se basa en consideración cuidadosa de cuatro elementos clave:
1. Formar expectaciones de reintegro realistas.
2. Controlar el riesgo del portafolio
3. Controlar eficientemente los costos de intercambio
4. Monitoreo total del funcionamiento de inversiones
Aplicando La Selección del Portafolio a la Practica
En la presentacion de optimizacion de la media varianza, portafolios eficientes se forman eligiendo un activo basado en su interaccion con otros activos en el portafolio, y no solo en la base de funcionamiento por separado. La presentacion de la media-varianza solo sirve como un punto de partida. El acercamiento original propuesto por Markowitz se extiende frecuentemente en varias direcciones diferentes.
1. Ser un modelo de un periodo sencillo (myopic) que tiene que ser modificado para poder ser tomado en consideración en condiciones de un mercado cambiante sobre periodos multiples.
2. Los objetivos gerenciales del portafolio y sus politicas frecuentemente imponen restricciones mas alla de aquellos que tienen el modelo original.
Re-balanceando en el Marco de Optimizacion de la Media-Varianza
Despues que se decida en donde se van a alocar los activo, re balancear el portafolio es probablemente la segunda decisión mas importante para un portafolio de inversiones. Como ambiente economico y la mezcla de activos cambian, la gerencia de portafolio re balancea sus portafolios para incorporar nuevas visiones en reintegros experados y sus riesgos.
Los portafolios que se equivoquen los menos posible requieren mas re balanceo frecuente, el cual en turno aumentan sus costos de transacción. En general, podemos distinguir los siguientes tres resultados diferentes para re balancear un portafolio.
1. Re balancear por calendario. Re balancea el portafolio al lugar mas optimo a cierta frecuencia como semanal, mensual, cada 3 meses y asi sucesivamente.
2. Re balancear a cierto punto. Re balancea el portafolio a su composición mas optima una vez que este a cierto rango. Como por ejemplo, re balancea el portafolio cuando difiera el 10% de su peso optimo.
3. Re balancear por rangos. Re balancea el portafolio a un rango predeterminado una vez que se haya desviado de ahí.
Ejemplo: Re balancea El Portafolio Indice Del MSCI World
En un ejemplo de un portafolio que usa 18 paises del Indice de MSCI World en el periodo de Enero de 1980 hasta Mayo de 2004. Comparamos tres resultados simples en un re balanceo mensual del portafolio que contiene indices diferentes de paises contra el indice total:
1. Permanece con una porcion igual de cada activo por toda la muestra.
2. Re balancea el portafolio en forma mensual calculando la varianza minima global del portafolio, sin permitir ventas cortas.
3. Re balacea el portafolio de forma mesaual usando la formulacion de aversión de riesgos del problema de la optimizacion de la media-varianza con un coeficiente de riesgo de aberración, landa, igual a 2, sin permitir las ventas cortas.
Limites de Portafolio Usados Comunmente en Practica
Funciones Intitucionales y las decisiones de politica de inversiones frecuentemente llevan a unos limites mas complicados y los objetivos de portafolio gerencial mas que los de el presenten la formulacion original del problema de la media-varianza. Un gerente de portafolio tambien puede estar restringido en que tan concentrado el portafolio de inversiones puede ser en una industria o sector particular.
Se denota los pesos del portafolio corriente por w(o) y los pesos del portafolio que se quiere llegar por “w”, asi que la cantidad de intercambio se da por: x = w-w(0).
Limitaciones Lineales y Cuadraticas
Limitaciones solo-largas. Cuando las ventas pequenas no se permiten se requiere que “w” menor e igual que 0. Esto es un limite usado frecuentemente, como muchos fondos e inversionistas se les prohibe vender pocas acciones.
Limitaciones de devoluciones. Una devolucion alta de portafolio puede resultar en costos de transacciones largos que pueden hacer el re balanceo ineficiente. Una posibilidad seria limitar la cantidad de devoluciones permitida cuando se realiza una optimizacion de portafolio. Los limites de devoluciones mas comunes en un activo individual o todo el portafolio se da como:
Sum|xi| menor e igual U portafolio, donde i pertenece a I, donde I denota la inversion universal disponible.
Aguantando los Limites. Un portafolio bien diversificado deberia exhibir concentraciones grandes en activos especificos, industrias, sectores, o paises. Aguantando los limites al maximo en activos individuales puede ser controlado por el limite
Li < e igual que wi < e igual que Ui, donde Li y Ui son vectores representando los limites inferiores y superiores de aguantar los activos de i. Para limitar la exposición a un arreglo especifico Ii del universo disponible I, podemos introducir limites de la forma
Li < e igual que Sum ( wj < e igual que Ui, donde j = Ii, donde Li y Ui denotan las exposiciones minimas y maximas a Ii.
martes, 6 de octubre de 2009
Rotaciones Oblicuas y Ortogonales(Presentacion 1, de Econometria)
Rotacion Oblicua del Problema de 12 variables.
Al estar interesados en mantener las construcciones factoriales lo mas independientes posibles entres si, se debe mantener los angulos entre los factores lo mas cerca de 90 grados. Como en la siguiente grafica:
En la misma aparecen resultados de las rotaciones ortoganales del problema de las 12 variables. En el primer trazado del factor I con el factor III, como aparece en la siguiente grafica:
El vector de referencia I se mueve a la posición I4 desde la posición ortogonal final original en I3. El vector de referencia I4 esta realmente mas alejado de los puntos con proyecciones altas sobre este valor de referencia que lo que estaba I3, asi que la rotacion no ha hecho para acercar el vector de referencia I a un grupo de puntos con pesos altos en I. Como esta es la primera rotacion oblicua por vez primera el vector de referencia I y el factor I no coincidiran. Hasta que un vector de referencia sea rotado oblicuamente respecto a otro vector de referencia, aquel coincidira con su vector factorial asociado.
Los calculos para alterar A, la matrix de transformación ortogonal final, para incluir esta primera rotacion oblicua.
I’ = I – tg (phi)* III
Lan 11 = .711 - .2(.439) = .711 -0.88 = .623
Lan 21 = .057 -.2(-.237) = .057 + .047 = .104
Lan 31 = -.201-.2(.845) = -.201-.169 = -.370
Lan 41 = -.671-.2(.192) = -.671-.038=-.709
El hiperplano perpendicular al vector de referencia con posición III4 esta mejor situado que lo que estaba en la posición original perpendicular a III3. Los calculos para obtener la nueva columna III de la matriz A para llevar a cabo la rotacion son los siguientes:
III’ = III - .17(I)
Lan 13 = .439 - .17(.711) = .318
Lan 23 = -.237 - .17(.057) = -.247
Lan 33 = .845 -.17(-.201) = .879
Lan 43 = .192 -.17(-.671)=.306
La suma de los cuadrados de los valores de Lan i3 no normalizados de las Esc. es 1.0284 y su raiz cuadrada es 1.014
La matriz de correlaciones entre los vectores de referencia C, como sigue;
C = A1 ‘A1
Se multiplica la transpuesta de la matriz de transformación por la matriz de transformación misma para tener la matriz de correlaciones entre los vectores de referencia.
La matriz final de correlaciones entre los vectores de referencia para el problema de 12 variables es de esta forma:
I II III IV
I 1.000 .000 -.343 -.411
II .000 1.000 .000 -.001
III -.343 .000 1.000 .040
IV -.411 -.001 .040 1.000
Los ejes factoriales coinciden con las intersecciones de los hiperplanos. Si dos lineas de interseccion tales mantienen un angulo entre ellas menor de 90 grados, entonces el angulo entre los vectores de referencia perpendiculares a ellas debe ser mayor de 90 grados, produciendo una correlacion negativa. Sin embargo, si las lineas de interseccion de los hiperplanos mantienen un angulo mayor de 90 grados, sus normales, los vectores de referencia, deben mantener un angulo entre ellos menor de 90 grados.
Obtencion de las matrices adicionales
Consideremos la operación matricial esquematica de la figura Ilustrada:
Ignorando por un momento, la parte inferior T de la matrix de la izquierda y la parte inferior D de la matriz de la derecha, esta operación es justamente A ^A = V. Que producia la estructura final de los vectores de referencia V, multiplicando la matrix de pesos no rotados.
Puesto que los vectores factoriales rotados que estan representados por las filas de T en la figura ilustrada, tienen como longitud la unidad, y los vectores factoriales no rotados tienen como longitud la unidad, las correlaciones entre estos dos conjuntos de vectores vienen dadas por
Rij = hi hj Cos(Phi ij) = (1.0)(1.0) Cos(Phi ij) = Cos(Phi ij)
Los valores de cada fila de la matriz T son, por lo tanto, los cosenos direccionales de los vectores factoriales rotados oblicuos respecto a los vectores factoriales no rotados ortogonales. Por lo tanto, la fila i de la matriz T y la columna j de la matriz ^A representan los cosenos direccionales del vector factorial i y del vector de referencia j, respectivamente. Cuando i=j, estos son el vector factorial y el vector de referencia que se corresponden mutuamente en la solucion oblicua.
Correlaciones entre los factores
La matriz de correlaciones entre los factores oblicuos puede representar como sigue:
Obli= TT’
Donde T, como antes, es una matriz cuyas filas son cosenos direccionales de los vectores factoriales rotados oblicuamente de longitud igual a la unidad respecto a los vectores factoriales originales ortogonales y sin rotar, como se indica en la figura ilustrada anteriormente. La matriz TT’ proporciona los productos internos de los cosenos direccionales de todos los pares posibles de vectores factoriales rotados oblicuos. La matriz Obli es simetrica, ya que r ij=r ji y tiene 1.0 en los elementos de la diagonal puesto que la correlacion de cada factor consigo mismo es 1.0.
Como A^A es la matriz C, la matriz de correlaciones entre los vectores de referencia ya mencionanda, entonces se reduce a Obli = DC^-1D. Donde D son los valores de la diagonal de D.
Formulas para la matriz patron y la matriz estructura
La rotacion oblicua de los vectores de referencia termina con la formula
A^A = V
Donde A es la matriz de los pesos factoriales no rotados, ^A es la matriz con columnas de cosenos direccionales de lo vectores de referencia respecto a los vectores factoriales no rotados y V es la matriz de correlaciones de las variables con los vectores de referencia. Por analogia,
AT’=S
Donde las columnas de T’ son los cosenos direccionales de los vectores factoriales oblicuos respecto a los vectores factoriales no rotados y S es la matriz de correlaciones de las variables con los vectores factoriales oblicuos, estos es, la estructura factorial. La transpuesta T’ simplemente, coloca estos cosenos direccionales en las columnas en lugar de que en las filas.
La matriz de patron es la siguiente
P= VD^-1
El efecto de multiplicar la matriz de la estructura de los vectores de referencia V por D^-1 es simplemente multiplicar la columna i de la matriz V por el elemento dii^1 de D^-1. La matriz D^-1 es tambien una matriz diagonal cuyos elementos son iguales a los reciprocos de los elementos correspondientes de la matriz D.
Reproduccion de R a partir de los pesos factoriales oblicuos
Anteriormente se establecio que Z= AuFu, donde Z es la matriz de puntuaciones de las variables, Au es la matriz de los pesos factoriales no rotados, de los factores comunes, especificos y de error, y Fu es la matriz de puntuaciones factoriales para los factores ortogonales no rotados. La matriz de correlaciones tambien puede representarse por la ecuación siguiente:
R = 1/N(ZZ’)
Donde Z es la matriz de puntuaciones de variables. Cada fila de Z, multiplicada internamente por una columna de Z’, la transpuesta de Z, da la suma de los productos cruzados de las puntuaciones tipicas que, al ser dividida por, da el coeficiente de correlacion para el par de variables implicadas. Sustituyendo Z=AuFu se obtiene
R = Au[(FuFu’)/N]Au’
Soluciones oblicuas frente a soluciones ortogonales
Las complejidades que conlleva la utilización de solucione oblicuas y la carga adicional de calculos implicados han llevado a muchos investigadores a decidirse por las soluciones ortogonales, que son mucho mas simples. Algunos investigadores, por ejemplo, Cattell(1952), han insistido en la utilización de soluciones oblicuas porque piensan que los factores en la naturaleza no tienen tendencia a ser ortogonales y que, por lo tanto, el uso de soluciones ortogonales esta injustificado. Otros investigadores, como Guildford, han preferido generalmente mantenerse en las soluciones factoriales ortogonales basandose en que desean desarrollar construcciones tan independientes unas de las otras como sea posible. La aceptación demasiado rapida de soluciones oblicuas puede inhibir la busqueda de construcciones realmente independientes.
Capitulo 7
ESTRUCTURA SIMPLE Y OTROS CRITERIOS ROTACIONALES
Thurstine (1947) intento probar el valor de una estructura simple presentando una solucion a su famoso problema de las cajas. Reunio una muestra de 20 cajas y tomo varias funciones matematicas de tres dimensiones basicas para obtener un total de 20 variables. Empleo funciones x,y y z, x^2 +y^2 y funciones logaritmicas. De las intercorrelaciones de esas variables obtuvo tres dimensiones basicas llamadas: Longitud, anchura y altura.
Todos estos problemas demuestran, sin embargo, que hay casos en que en donde la estructura simple oblicua funciona. Debido a que no hay prueba de que siempre este metodo funcione. El uso indiscriminado de la estructura simple oblicua como criterio puede concluir a unas soluciones muy distorsionadas. Lan conclusión que llego el autor como resultado de sus experimentos fue que, con muchas variables y muchos factores en una matriz factorial, los hiperplanos pueden ser mejorados hasta proporciones extremadamente altas de pesos proximos a cero si se permite que los factores lleguen a estar lo suficientemente oblicuos entre si. La localizacion de buenos hiperplanos no es siempre suficiente para establecer buenas posiciones factoriales, tampoco no es necesario rotar para obtener los mejores hiperplanos oblicuos obteniendo asi la mejor solucion posible.
Una solucion rotacional no es nada mas que una interpretación de los datos. En anteriores capitulos se ha mostrado que hay infinitas interpretaciones posibles para la mayoria de las matrices de correlaciones en la vida real. La mejor solucion de estructura simple oblicua proporciona frecuentemente una interpretación que el investigador encuentra util para sus propositos. Sin embargo, todavía no ha sido probado que pueda ser utilizado para procedimientos cientificos.
Criterios Alternativos de Rotacion
Aunque la rotacion normal hacia la estructura simple oblicua, o hacia la mejor aproximación ortogonal a ella, ha sido el metodo de rotacion mas favorecido tradicionalmente. De hecho, en el momento presente, el enfoque tradicional de estructura simple, ha sido sustituido en popularidad por metodos para computador.
Rotacion para lograr la consistencia con resultados anteriores
El progreso cientifico significativo usando resultados de analisis factoriales surge con mayor probabilidad de una serie de investigaciones programadas que de un unico estudio aislado. Los investigadores implicados en la investigación programada naturalmente buscan descubrimientos que puedan generalizarse a traves de estudios. Desean poder reproducir los descubrimientos en orden a ganar confianza con sus conclusiones. En sus estudios de habilidades humanas, Guilford (1967) y sus colaboraciones han estado generalmente mas interesados en sus rotaciones en relacionar los resultadoes presentes con los descubrimientos pasados, que en satisfacer el criterio de estructura simple. Tambien se han adherido generalmente a soluciones ortogonales.
El metodo de adiciones ortogonales se clasifica quiza mejor bajo el encabezamiento de rotacion para lograr la consistencia con los resultados anteriores. Un investigador puede comenzar con un grupo de variables que definen un factor bien establecido. A continuación, situa un segundo factor en angulo recto con el primero, usando las variables existentes e intetando desarrollar otras nuevas hasta que el segundo factor este bien definido. Luego, continua desarrollando un tercer factor, ortogonal respecto a los dos primeros, y asi sucesivamente. En cada nuevo paso, los resultados estan construidos sobre y hechos para mostrar consistencia con los descubrimientos anteriores.
Rotacion para concordar con hipótesis
Este enfoque, en algunas de sus aplicaciones, es muy similar al anterior en que, al rotar los resultados presentes para hacerlos consistentes con hechos conocidos, incluyendo descubrimientos procedentes de investigaciones previas, hay un intento en lograr una congruencia entre los resultados presentes y una hipótesis compleja sobre su naturaleza. En otros casos, la hipótesis sobre resultados presentes pueden ser estrictamente generadas en base a una teoria mas que en base a los resultados pasados.
Metodos analiticos de rotacion
La distinción basica entre los llamados metodos analiticos y no analiticos de rotacion es que en los metodos analiticos pueden ser reducidos a reglas claramente especificadas que no requieren ningun juicio por parte del investigador. Los metodos no analiticos, como la rotacion manual a estructura simple oblicua, requieren que el investigador ejercite su juicio para determinar que se debe hacer en las diversas etapas del proceso de rotacion.
Soluciones de estructura simple por computador
Aunque la rotacion a la estructura simple oblicua no se clasifica como un metodo analitico, es posible formular un conjunto de reglas para aplicarlas por computador con el proposito de buscar soluciones que parezcan satisfacer las demandas de la estructura simple oblicua. Puesto que tales aplicaciones envuelven un conjunto explicito de reglas, seran clasificados como metodos analiticos.
Cattell y Muerle (1960) desarrollaron el programa Maxplane para rotacion factorial a estructura simple oblicua. Este programa cuenta con el numero de puntos que caen en el hiperplano para cada factor, por ejemplo, dentro del rango + .10 a -.10. Los factores se rotan sistemáticamente por computador para incrementar el numero de puntos en los hiperplanos.
Soluciones de tipo Procrusto
Las soluciones de tipo procusto se clasifican aquí como de carácter analitico, porque en ellas se establece un conjunto especifico de reglas que gobierna cuantas rotaciones se han de hacer para transformar la matriz factorial no rotada en una forma máximamente similar en algun sentido a una matriz objetivo predeterminada. La matrix objetivo puede tener especificados todos los valores o solo alguno de ellos.
Metodos de rotacion analitca ortogonal
El descontento con la subjetividad y la vaguedad de los criterios de la estructura simple condujo a un esfuerzo para proporcionar enunciados matematicos mas precisos de los criterios que debe satisfacer una solucion rotacional. Se publicaron varios metodos en los anos cincuenta que demostraron ser bastante similares entre si( Carroll, 1953; Ferguson, 1954; Neuhaus y Wrigley, 1954; Saunders, 1960) según Harman (1967), Harman denomina a estos metodos similares, colectivamente, metodo Quartimax. La idea esencial subyacente a este enfoque es rotar de tal modo que cada variable tenga, idealmente, un peso principal en uno, y uno, de los factores. Es decir, cada variable aparecia como una medida factorial pura. En la practica, naturalmente, no es posible, en general, obtener una solucion idealizada semejante. Solo se consiguien aproximaciones tan precisas como es posible en la solucion Quartimax.
Metodos de rotacion analiticos oblicuos
Los metodos de busqueda de la estructura simple por computador y los enfoques de tipo Procrusto que producen soluciones oblicuasya han sido mencionadas. Mucho antes del desarrollo de estos metodos, sin embargo, Thurstone(1947) presento su metodo de Plano Unico, que es un procedimiento semianalitico para la obtención de soluciones oblicuas. El investigador comienza con una variable dada, pensada para ser una variable que probablemente defina un factor particular. Se situa un vector de prueba a traves de esta variable y se obtienen las proyecciones de los vectores de datos sobre este vector de prueba. Se trazan estos valores junto a todos los vectores factoriales no rotados y se realiza simultaneamente un ajuste en la posición del vector de prueba con respecto a todos lo ejes factoriales no rotados para mejorar la estructura simple. Se calculan las proyecciones de los vectores de datos sobre el nuevo vector de prueba y se realizan nuevo diagramas. Se hace un nuevo ajuste en la posición del vector de prueba con respecto a todos los ejes factoriales no rotados y se realiza simultaneamente un ajuste en la posición del vector de prueba si es necesario. El proceso continua hasta que no necesiten nuevos ajustes.
El metodo de Varimax de Kaiser
(1958,1959) Se basa en la idea de que el factor mas interpretable tiene pesos altos y bajos, pero pocos de magnitud intermedia. Tal factor tendria una gran varianza de pesos al cuadrado, ya que los valores estan separados al maximo. Usando la varianza como valor maximo como se ilustra en la iguiente formula:
V=Sum (desviación estandar de j)^2, desde j=1, hasta m.
En la practica, V no es maximizado en una sola operación. Mas bien,los factores unos con otros sistemáticamente, dos cada vez y todos los pares posibles,maximizando cada vez la (desviación estandar 1)^2 + (desviación estandar 2)^2. Despues de que cada factor ha sido rotado con cada uno de los demas factores, completando un ciclo, se calcula V y comienza otro ciclo. Estos ciclos se repiten hasta que V no se pueda incrementar.
Considere lo siguiente:
Donde V1 es una matrix de pesos factoriales que han de ser rotados para maximizar (desviación estandar 1)^2 + (desviación estandar 2)^2, V2 es la matrix de pesos factoriales para la cual (desviación estandar i)^2 + (desviación estandar j)^2 es una maximo, y ^A es la matrix de transformaciones ortogonales que realiza la rotacion deseada. Los valores en V1 son conocidos. Los valores en V2 no. Sin embargo, los valores en V2 son funciones del angulo Phi y los valores en v1, como sigue:
Xj=xj Cos(Phi) + yj Sen(Phi)
Yj=-xj Sen(Phi) + yi Cos(Phi).
La suma de las variazas que ha de maximizarse viene dada por:
(desviación estandar 1)^2 + (desviación estandar 2)^2 = (1/n)*Sum(X^2)^2-(1/n^2)*Sum(X^2)^2-(1/n)* Sum(Y^2)^2-(1/n^2)*Sum(Y^2)^2.
El metodo de criterio en Tandem
Principio I. Si dos variables entan correlacionadas, deben aparecer en el mismo factor.
Rotacion por el criterio I de los criterio en tandem
El principio I puede ser expresado matemáticamente de la siguiente manera:
F = Sum desde k=1, hasta m * Sum desde i=1, hasta m* Sum desde j=1, hasta m (r’ij^2) (aik^2) (ajk^2)
Donde r ij = Sum (aik ajk) desde k =1, hasta n, la correlacion reproducida entre la variable i y la variable j,
a ik es el peso factorial de la variable i en el factor k,
a jk es el peso factorial de la variable j en el factor k.
La funcion F debe maximizarse. Esto ocurrira cuando las variable que estan correlacionadas entre si esten puestas en el mismo factor. Como el metodo de Varimax, la maximización de la funcion F se realiza rotando los factore de dos en dos, maximizando la funcion en cada rotacion separadamente. Despues de que se ha rotado cada factor con cada uno de los otros factores, y de este modo se ha completado un ciclo, se calcula el valor de la funcion.
Al estar interesados en mantener las construcciones factoriales lo mas independientes posibles entres si, se debe mantener los angulos entre los factores lo mas cerca de 90 grados. Como en la siguiente grafica:
En la misma aparecen resultados de las rotaciones ortoganales del problema de las 12 variables. En el primer trazado del factor I con el factor III, como aparece en la siguiente grafica:
El vector de referencia I se mueve a la posición I4 desde la posición ortogonal final original en I3. El vector de referencia I4 esta realmente mas alejado de los puntos con proyecciones altas sobre este valor de referencia que lo que estaba I3, asi que la rotacion no ha hecho para acercar el vector de referencia I a un grupo de puntos con pesos altos en I. Como esta es la primera rotacion oblicua por vez primera el vector de referencia I y el factor I no coincidiran. Hasta que un vector de referencia sea rotado oblicuamente respecto a otro vector de referencia, aquel coincidira con su vector factorial asociado.
Los calculos para alterar A, la matrix de transformación ortogonal final, para incluir esta primera rotacion oblicua.
I’ = I – tg (phi)* III
Lan 11 = .711 - .2(.439) = .711 -0.88 = .623
Lan 21 = .057 -.2(-.237) = .057 + .047 = .104
Lan 31 = -.201-.2(.845) = -.201-.169 = -.370
Lan 41 = -.671-.2(.192) = -.671-.038=-.709
El hiperplano perpendicular al vector de referencia con posición III4 esta mejor situado que lo que estaba en la posición original perpendicular a III3. Los calculos para obtener la nueva columna III de la matriz A para llevar a cabo la rotacion son los siguientes:
III’ = III - .17(I)
Lan 13 = .439 - .17(.711) = .318
Lan 23 = -.237 - .17(.057) = -.247
Lan 33 = .845 -.17(-.201) = .879
Lan 43 = .192 -.17(-.671)=.306
La suma de los cuadrados de los valores de Lan i3 no normalizados de las Esc. es 1.0284 y su raiz cuadrada es 1.014
La matriz de correlaciones entre los vectores de referencia C, como sigue;
C = A1 ‘A1
Se multiplica la transpuesta de la matriz de transformación por la matriz de transformación misma para tener la matriz de correlaciones entre los vectores de referencia.
La matriz final de correlaciones entre los vectores de referencia para el problema de 12 variables es de esta forma:
I II III IV
I 1.000 .000 -.343 -.411
II .000 1.000 .000 -.001
III -.343 .000 1.000 .040
IV -.411 -.001 .040 1.000
Los ejes factoriales coinciden con las intersecciones de los hiperplanos. Si dos lineas de interseccion tales mantienen un angulo entre ellas menor de 90 grados, entonces el angulo entre los vectores de referencia perpendiculares a ellas debe ser mayor de 90 grados, produciendo una correlacion negativa. Sin embargo, si las lineas de interseccion de los hiperplanos mantienen un angulo mayor de 90 grados, sus normales, los vectores de referencia, deben mantener un angulo entre ellos menor de 90 grados.
Obtencion de las matrices adicionales
Consideremos la operación matricial esquematica de la figura Ilustrada:
Ignorando por un momento, la parte inferior T de la matrix de la izquierda y la parte inferior D de la matriz de la derecha, esta operación es justamente A ^A = V. Que producia la estructura final de los vectores de referencia V, multiplicando la matrix de pesos no rotados.
Puesto que los vectores factoriales rotados que estan representados por las filas de T en la figura ilustrada, tienen como longitud la unidad, y los vectores factoriales no rotados tienen como longitud la unidad, las correlaciones entre estos dos conjuntos de vectores vienen dadas por
Rij = hi hj Cos(Phi ij) = (1.0)(1.0) Cos(Phi ij) = Cos(Phi ij)
Los valores de cada fila de la matriz T son, por lo tanto, los cosenos direccionales de los vectores factoriales rotados oblicuos respecto a los vectores factoriales no rotados ortogonales. Por lo tanto, la fila i de la matriz T y la columna j de la matriz ^A representan los cosenos direccionales del vector factorial i y del vector de referencia j, respectivamente. Cuando i=j, estos son el vector factorial y el vector de referencia que se corresponden mutuamente en la solucion oblicua.
Correlaciones entre los factores
La matriz de correlaciones entre los factores oblicuos puede representar como sigue:
Obli= TT’
Donde T, como antes, es una matriz cuyas filas son cosenos direccionales de los vectores factoriales rotados oblicuamente de longitud igual a la unidad respecto a los vectores factoriales originales ortogonales y sin rotar, como se indica en la figura ilustrada anteriormente. La matriz TT’ proporciona los productos internos de los cosenos direccionales de todos los pares posibles de vectores factoriales rotados oblicuos. La matriz Obli es simetrica, ya que r ij=r ji y tiene 1.0 en los elementos de la diagonal puesto que la correlacion de cada factor consigo mismo es 1.0.
Como A^A es la matriz C, la matriz de correlaciones entre los vectores de referencia ya mencionanda, entonces se reduce a Obli = DC^-1D. Donde D son los valores de la diagonal de D.
Formulas para la matriz patron y la matriz estructura
La rotacion oblicua de los vectores de referencia termina con la formula
A^A = V
Donde A es la matriz de los pesos factoriales no rotados, ^A es la matriz con columnas de cosenos direccionales de lo vectores de referencia respecto a los vectores factoriales no rotados y V es la matriz de correlaciones de las variables con los vectores de referencia. Por analogia,
AT’=S
Donde las columnas de T’ son los cosenos direccionales de los vectores factoriales oblicuos respecto a los vectores factoriales no rotados y S es la matriz de correlaciones de las variables con los vectores factoriales oblicuos, estos es, la estructura factorial. La transpuesta T’ simplemente, coloca estos cosenos direccionales en las columnas en lugar de que en las filas.
La matriz de patron es la siguiente
P= VD^-1
El efecto de multiplicar la matriz de la estructura de los vectores de referencia V por D^-1 es simplemente multiplicar la columna i de la matriz V por el elemento dii^1 de D^-1. La matriz D^-1 es tambien una matriz diagonal cuyos elementos son iguales a los reciprocos de los elementos correspondientes de la matriz D.
Reproduccion de R a partir de los pesos factoriales oblicuos
Anteriormente se establecio que Z= AuFu, donde Z es la matriz de puntuaciones de las variables, Au es la matriz de los pesos factoriales no rotados, de los factores comunes, especificos y de error, y Fu es la matriz de puntuaciones factoriales para los factores ortogonales no rotados. La matriz de correlaciones tambien puede representarse por la ecuación siguiente:
R = 1/N(ZZ’)
Donde Z es la matriz de puntuaciones de variables. Cada fila de Z, multiplicada internamente por una columna de Z’, la transpuesta de Z, da la suma de los productos cruzados de las puntuaciones tipicas que, al ser dividida por, da el coeficiente de correlacion para el par de variables implicadas. Sustituyendo Z=AuFu se obtiene
R = Au[(FuFu’)/N]Au’
Soluciones oblicuas frente a soluciones ortogonales
Las complejidades que conlleva la utilización de solucione oblicuas y la carga adicional de calculos implicados han llevado a muchos investigadores a decidirse por las soluciones ortogonales, que son mucho mas simples. Algunos investigadores, por ejemplo, Cattell(1952), han insistido en la utilización de soluciones oblicuas porque piensan que los factores en la naturaleza no tienen tendencia a ser ortogonales y que, por lo tanto, el uso de soluciones ortogonales esta injustificado. Otros investigadores, como Guildford, han preferido generalmente mantenerse en las soluciones factoriales ortogonales basandose en que desean desarrollar construcciones tan independientes unas de las otras como sea posible. La aceptación demasiado rapida de soluciones oblicuas puede inhibir la busqueda de construcciones realmente independientes.
Capitulo 7
ESTRUCTURA SIMPLE Y OTROS CRITERIOS ROTACIONALES
Thurstine (1947) intento probar el valor de una estructura simple presentando una solucion a su famoso problema de las cajas. Reunio una muestra de 20 cajas y tomo varias funciones matematicas de tres dimensiones basicas para obtener un total de 20 variables. Empleo funciones x,y y z, x^2 +y^2 y funciones logaritmicas. De las intercorrelaciones de esas variables obtuvo tres dimensiones basicas llamadas: Longitud, anchura y altura.
Todos estos problemas demuestran, sin embargo, que hay casos en que en donde la estructura simple oblicua funciona. Debido a que no hay prueba de que siempre este metodo funcione. El uso indiscriminado de la estructura simple oblicua como criterio puede concluir a unas soluciones muy distorsionadas. Lan conclusión que llego el autor como resultado de sus experimentos fue que, con muchas variables y muchos factores en una matriz factorial, los hiperplanos pueden ser mejorados hasta proporciones extremadamente altas de pesos proximos a cero si se permite que los factores lleguen a estar lo suficientemente oblicuos entre si. La localizacion de buenos hiperplanos no es siempre suficiente para establecer buenas posiciones factoriales, tampoco no es necesario rotar para obtener los mejores hiperplanos oblicuos obteniendo asi la mejor solucion posible.
Una solucion rotacional no es nada mas que una interpretación de los datos. En anteriores capitulos se ha mostrado que hay infinitas interpretaciones posibles para la mayoria de las matrices de correlaciones en la vida real. La mejor solucion de estructura simple oblicua proporciona frecuentemente una interpretación que el investigador encuentra util para sus propositos. Sin embargo, todavía no ha sido probado que pueda ser utilizado para procedimientos cientificos.
Criterios Alternativos de Rotacion
Aunque la rotacion normal hacia la estructura simple oblicua, o hacia la mejor aproximación ortogonal a ella, ha sido el metodo de rotacion mas favorecido tradicionalmente. De hecho, en el momento presente, el enfoque tradicional de estructura simple, ha sido sustituido en popularidad por metodos para computador.
Rotacion para lograr la consistencia con resultados anteriores
El progreso cientifico significativo usando resultados de analisis factoriales surge con mayor probabilidad de una serie de investigaciones programadas que de un unico estudio aislado. Los investigadores implicados en la investigación programada naturalmente buscan descubrimientos que puedan generalizarse a traves de estudios. Desean poder reproducir los descubrimientos en orden a ganar confianza con sus conclusiones. En sus estudios de habilidades humanas, Guilford (1967) y sus colaboraciones han estado generalmente mas interesados en sus rotaciones en relacionar los resultadoes presentes con los descubrimientos pasados, que en satisfacer el criterio de estructura simple. Tambien se han adherido generalmente a soluciones ortogonales.
El metodo de adiciones ortogonales se clasifica quiza mejor bajo el encabezamiento de rotacion para lograr la consistencia con los resultados anteriores. Un investigador puede comenzar con un grupo de variables que definen un factor bien establecido. A continuación, situa un segundo factor en angulo recto con el primero, usando las variables existentes e intetando desarrollar otras nuevas hasta que el segundo factor este bien definido. Luego, continua desarrollando un tercer factor, ortogonal respecto a los dos primeros, y asi sucesivamente. En cada nuevo paso, los resultados estan construidos sobre y hechos para mostrar consistencia con los descubrimientos anteriores.
Rotacion para concordar con hipótesis
Este enfoque, en algunas de sus aplicaciones, es muy similar al anterior en que, al rotar los resultados presentes para hacerlos consistentes con hechos conocidos, incluyendo descubrimientos procedentes de investigaciones previas, hay un intento en lograr una congruencia entre los resultados presentes y una hipótesis compleja sobre su naturaleza. En otros casos, la hipótesis sobre resultados presentes pueden ser estrictamente generadas en base a una teoria mas que en base a los resultados pasados.
Metodos analiticos de rotacion
La distinción basica entre los llamados metodos analiticos y no analiticos de rotacion es que en los metodos analiticos pueden ser reducidos a reglas claramente especificadas que no requieren ningun juicio por parte del investigador. Los metodos no analiticos, como la rotacion manual a estructura simple oblicua, requieren que el investigador ejercite su juicio para determinar que se debe hacer en las diversas etapas del proceso de rotacion.
Soluciones de estructura simple por computador
Aunque la rotacion a la estructura simple oblicua no se clasifica como un metodo analitico, es posible formular un conjunto de reglas para aplicarlas por computador con el proposito de buscar soluciones que parezcan satisfacer las demandas de la estructura simple oblicua. Puesto que tales aplicaciones envuelven un conjunto explicito de reglas, seran clasificados como metodos analiticos.
Cattell y Muerle (1960) desarrollaron el programa Maxplane para rotacion factorial a estructura simple oblicua. Este programa cuenta con el numero de puntos que caen en el hiperplano para cada factor, por ejemplo, dentro del rango + .10 a -.10. Los factores se rotan sistemáticamente por computador para incrementar el numero de puntos en los hiperplanos.
Soluciones de tipo Procrusto
Las soluciones de tipo procusto se clasifican aquí como de carácter analitico, porque en ellas se establece un conjunto especifico de reglas que gobierna cuantas rotaciones se han de hacer para transformar la matriz factorial no rotada en una forma máximamente similar en algun sentido a una matriz objetivo predeterminada. La matrix objetivo puede tener especificados todos los valores o solo alguno de ellos.
Metodos de rotacion analitca ortogonal
El descontento con la subjetividad y la vaguedad de los criterios de la estructura simple condujo a un esfuerzo para proporcionar enunciados matematicos mas precisos de los criterios que debe satisfacer una solucion rotacional. Se publicaron varios metodos en los anos cincuenta que demostraron ser bastante similares entre si( Carroll, 1953; Ferguson, 1954; Neuhaus y Wrigley, 1954; Saunders, 1960) según Harman (1967), Harman denomina a estos metodos similares, colectivamente, metodo Quartimax. La idea esencial subyacente a este enfoque es rotar de tal modo que cada variable tenga, idealmente, un peso principal en uno, y uno, de los factores. Es decir, cada variable aparecia como una medida factorial pura. En la practica, naturalmente, no es posible, en general, obtener una solucion idealizada semejante. Solo se consiguien aproximaciones tan precisas como es posible en la solucion Quartimax.
Metodos de rotacion analiticos oblicuos
Los metodos de busqueda de la estructura simple por computador y los enfoques de tipo Procrusto que producen soluciones oblicuasya han sido mencionadas. Mucho antes del desarrollo de estos metodos, sin embargo, Thurstone(1947) presento su metodo de Plano Unico, que es un procedimiento semianalitico para la obtención de soluciones oblicuas. El investigador comienza con una variable dada, pensada para ser una variable que probablemente defina un factor particular. Se situa un vector de prueba a traves de esta variable y se obtienen las proyecciones de los vectores de datos sobre este vector de prueba. Se trazan estos valores junto a todos los vectores factoriales no rotados y se realiza simultaneamente un ajuste en la posición del vector de prueba con respecto a todos lo ejes factoriales no rotados para mejorar la estructura simple. Se calculan las proyecciones de los vectores de datos sobre el nuevo vector de prueba y se realizan nuevo diagramas. Se hace un nuevo ajuste en la posición del vector de prueba con respecto a todos los ejes factoriales no rotados y se realiza simultaneamente un ajuste en la posición del vector de prueba si es necesario. El proceso continua hasta que no necesiten nuevos ajustes.
El metodo de Varimax de Kaiser
(1958,1959) Se basa en la idea de que el factor mas interpretable tiene pesos altos y bajos, pero pocos de magnitud intermedia. Tal factor tendria una gran varianza de pesos al cuadrado, ya que los valores estan separados al maximo. Usando la varianza como valor maximo como se ilustra en la iguiente formula:
V=Sum (desviación estandar de j)^2, desde j=1, hasta m.
En la practica, V no es maximizado en una sola operación. Mas bien,los factores unos con otros sistemáticamente, dos cada vez y todos los pares posibles,maximizando cada vez la (desviación estandar 1)^2 + (desviación estandar 2)^2. Despues de que cada factor ha sido rotado con cada uno de los demas factores, completando un ciclo, se calcula V y comienza otro ciclo. Estos ciclos se repiten hasta que V no se pueda incrementar.
Considere lo siguiente:
Donde V1 es una matrix de pesos factoriales que han de ser rotados para maximizar (desviación estandar 1)^2 + (desviación estandar 2)^2, V2 es la matrix de pesos factoriales para la cual (desviación estandar i)^2 + (desviación estandar j)^2 es una maximo, y ^A es la matrix de transformaciones ortogonales que realiza la rotacion deseada. Los valores en V1 son conocidos. Los valores en V2 no. Sin embargo, los valores en V2 son funciones del angulo Phi y los valores en v1, como sigue:
Xj=xj Cos(Phi) + yj Sen(Phi)
Yj=-xj Sen(Phi) + yi Cos(Phi).
La suma de las variazas que ha de maximizarse viene dada por:
(desviación estandar 1)^2 + (desviación estandar 2)^2 = (1/n)*Sum(X^2)^2-(1/n^2)*Sum(X^2)^2-(1/n)* Sum(Y^2)^2-(1/n^2)*Sum(Y^2)^2.
El metodo de criterio en Tandem
Principio I. Si dos variables entan correlacionadas, deben aparecer en el mismo factor.
Rotacion por el criterio I de los criterio en tandem
El principio I puede ser expresado matemáticamente de la siguiente manera:
F = Sum desde k=1, hasta m * Sum desde i=1, hasta m* Sum desde j=1, hasta m (r’ij^2) (aik^2) (ajk^2)
Donde r ij = Sum (aik ajk) desde k =1, hasta n, la correlacion reproducida entre la variable i y la variable j,
a ik es el peso factorial de la variable i en el factor k,
a jk es el peso factorial de la variable j en el factor k.
La funcion F debe maximizarse. Esto ocurrira cuando las variable que estan correlacionadas entre si esten puestas en el mismo factor. Como el metodo de Varimax, la maximización de la funcion F se realiza rotando los factore de dos en dos, maximizando la funcion en cada rotacion separadamente. Despues de que se ha rotado cada factor con cada uno de los otros factores, y de este modo se ha completado un ciclo, se calcula el valor de la funcion.
jueves, 7 de mayo de 2009
Estadísticas Aplicadas Al Juego de Béisbol (Material Del Examen Final De Estadísticas)
Las estadísticas aplicadas al juego de béisbol es una de tantas ramas que pueden ser aplicadas en la Estadística. Se utiliza para predecir el rendimiento de un jugador o equipo y obviamente, para el entretenimiento del público en general. ¿Por que elegí para discutir este tema en especifico?; Primeramente: Conozco bien el tema, puedo explicar profundamente la mayoría de sus aspectos estadísticos y mecánicos; Segundo: Existe basta información de vital importancia para los invertidotes de equipos y seguidores del juego; Y tercero, es un tema que se tocado a poca profundidad y necesita de mas estudio.
¿Que temas voy a tocar en esta presentación? Primero, entrare de lleno a la aplicación estadística matemática del juego de béisbol; Luego, entrare en el tema física estadística y su mecánica; Y después, entrare en la parte tan importante y del poco tema investigado, de la combinatoria en el béisbol y sus aplicaciones.
I. Aplicación estadística matemática del juego de béisbol.
El promedio de bateo o “AVG.” es el número mejor conocido en el Béisbol, va desde 0 hasta 1, es solo una medida de porciento. Este promedio se obtiene del total veces que el jugador conecto un sencillo, doble, triple o cuadrangular; sobre el total de veces que bateo, sin contar las bases por bolas, pegadas de bolas y los sacrificios. El número promedio de cualquier jugador en las grandes ligas siempre se ha mantenido en .300, que significa que al jugador lo sacan fuera (out) dos de tres veces aproximadamente, considerando la tarea difícil del bateador. Existen ocasiones en donde el bateador empieza la temporada encendido, bateando por encima de .500 pero siempre en el transcurso de la temporada su promedio se ajusta y baja hasta por encima de .300. Ted Williams con promedio de sobre .400 fue el único jugador que pudo conservar su promedio por toda la temporada. La mayoría o empiezan encendidos, bateando sobre .500, una parte que se conserva en .300 y la gran mayoría empiezan por debajo de .300. Los que empiezan por debajo de .300 tienden a esforzarse por mantener el promedio de .300, al igual que los otros. Es un numero mágico en el Béisbol y su casualidad prueba de que solo batearas bien en el juego una o dos veces, dependiendo de las veces que vayas a batear. Con eso se prueba que a pesar de que se pueda comprar cualquier jugador, siempre correrás con en el mismo promedio de bateo y que se sabe que su desempeño va a ser el mismo de uno que juega por menos dinero. Aunque a veces, el entusiasmo lleva a cualquier jugador que juega prácticamente de gratis a trabajar mejor que uno que gana sus 10 millones al año. El numero mágico de .300 lleva también a los espectadores con una gota de aliento para que el jugador impulse la carrera ganadora o llegue su tanto esperado cuadrangular.
No solo el promedio “AVG.” es la única estadística usada para reclutadores y buscadores de talento, también buscan a un jugador, por su capacidad de correr “SB” en bases robadas, batear con fuerza, que incluyen los cuadrangulares “HR” y las carreras impulsadas “RBI”. También el porcentaje de llegar a bases “OBP” versus su capacidad de no poncharse “SO”; su capacidad para jugar defensa; pero también uno que lo haga todo, que es casi imposible de encontrarlo hoy día. El punto es, que se basan en varias estadísticas para conseguir a un jugador que se acomode bien a su equipo. Por ejemplo, si el equipo no esta anotando carreras porque su equipo no corre las bases, entonces, necesitamos velocidad en las bases, y lo mismo viceversa. Se hace un estudio estadístico para determinar cual es el jugador que necesita el equipo y cual se puede comprar con su prosupuesto, que ya dije, que puede variar su desempeño y no necesariamente tiene que ver su desempeño con lo que gane el jugador. En la siguiente tabla se puede ver un ejemplo de la estadística utilizada para un busca talento:
Marcos Peña
Avg. .286 HR. 13 RBI. 25 OBP. .415 SO. 35 SB.17
Juan Lopez
Avg. .309 HR. 5 RBI. 18 OBP. .689 SO. 15 SB. 35
Luis Ramos
Avg. .274 HR. 47 RBI. 115 OBP. .425 SO. 81 SB. 2
En la tabla anterior se puede utilizar para conseguir talento para su equipo, si necesito velocidad en las bases y un primer bate, seguramente escogería a Juan López, porque tiene .309 de promedio, .689 de capacidad de llegar a bases y 35 bases robadas. Si quisiera un tercer bate o cuarto para impulsar carreras seguramente escogería a Luis Ramos, que tiene 47 cuadrangulares, 115 RBI. Pero Marcos Peña podría ser un jugador promedio que hace cualquier cosa que probablemente esta en la liga porque sabe jugar defensa en conjunto con su sólido promedio de .286. De esta forma muy similar equipos con un bajo prosupuesto llegan a la Serie Mundial como fue el caso de los Tampa Bay Rays en el 2008, los Rockies de Colorado en el 2007 y los Marlins de Florida en el 2003.
En el caso de los lanzadores, que tienden a dominar a los bateadores es un poco distinto su forma de buscar talento. Ahora su promedio es llamado ERA, que es el promedio de carreras permitidas por un lanzador en juego completo. Se utiliza la siguiente formula para sacar su efectividad o ERA = (((H + BB + HBP)×PTB)/(BFP×IP))×9 − 0.56, donde H= Hits Permitidos, BB = Base por bola permitidas, HBP = Bolazos permitidos , BFP = Bateadores enfrentados al lanzador, IP = son las entradas lanzadas y PTB = (0.89×(1.255×(H − HR) + 4×HR) + 0.56×(BB + HBP − IBB)) , donde IBB= Bases por bola intencional. Estadísticamente, un ERA efectivo esta por debajo de 4.00 en las Grandes Ligas, para que se tenga una idea de cuantas carreras debería permitir un lanzador por juego.
La estadística básica de los lanzadores depende del ERA, las entradas lanzadas “IP”, y los Ponches que pueda dar el lanzador “SO”. Mientras mas pequeño sea el número del ERA, y otras estadísticas como las bases por bolas, mejor es la calidad del lanzador. Versus mientras mayor sea la cantidad de entradas lanzadas y ponches, obviamente mejor es la calidad que tiene el lanzador. Son precisamente esos dos atributos que buscan los busca talento, su efectividad y consistencia; pero también, por supuesto, su capacidad de trabajar bajo presión.
II. El tema física estadística y su mecánica
El tema de la física del béisbol ha sido un tema interesante para los matemáticos, especialmente los que adoran al béisbol. Puede medirse muy bien con formulas de física elemental y avanzada. Su aplicaciones en el tema de “momentum” en física nos lleva a la conclusión de que si es posible medir estadísticamente sus mecánicas. El tema que voy a tocar aquí trata de la física de batear, lanzar y el vuelo de la pelota. Para empezar el pegarle bien a la pelota depende de: Primero: Si el bateador tiene un buen contacto y ve bien la pelota; Segundo: Debe usar el bate apropiado para su estatura y peso; Tercero: debe tener fuerza para darle velocidad al bate en el momento del contacto. Específicamente, la fuerza en el bate hace la diferencia entre un cuadrangular o doble, versus un “out” sencillo en campo de adentro o un bombo en cualquier parte del campo. Por ejemplo: una velocidad de bate de 40 millas por horas (que es muy veloz) puede desaparecer del parque casi cualquier pelota que le lancen, especialmente si es una bola con mucha velocidad. Una bola con mucha velocidad por parte del lanzador tiene mas probabilidad de convertirse en imparable o “hit”, que un bola con menos velocidad. Es lo que dicen las leyes de “momentum” de física conjunto con las 2da ley de movimiento de Newton de acción y reacción. Mientras mas velocidad choquen dos objetos mayores es su velocidad de repulsión, y en el béisbol, no es la excepción.
El vuelo de la pelota es cuando la pelota bateada viaja cierta distancia a través del aire. Supongamos que la pelota viaja por el aire con una elevación 45 grados de inclinación hacia arriba, saliendo desde el bate como punto de contacto, los siguientes datos y velocidades con respecto a la distancia y el tiempo que es 2.5 segundos se pueden apreciar en la segunda tabla:
Velocidad de Pelota Lanzada Tiempo Distancia Recorrida
70 MPH 3 Sec. 310 Pies
75 MPH 3 Sec. 330 Pies
80 MPH 3 Sec. 350 Pies
85 MPH 3 Sec. 375 Pies
90 MPH 3 Sec. 400 Pies
95 MPH 3 Sec. 420 Pies
Simulando el vuelo de un cuadrangular, un lanzador que le lance a un bateador con una recta de 95 MPH o mas y le hace contacto, se puede decir que la desapareció del parque con su trayectoria parabólica. Claro, como ya dije esto también tiene que ver con la velocidad en que el bateador le puso al bate. Pero dejándome llevar de estos datos me ayudan a notar que el beisbolista que quiera batear una pelota a 95 MPH con fuerza, pues necesita menor velocidad con el bate y así se obtiene mejor contacto. La ventaja de lanzar una recta arriba de las 90 MPH es que es difícil para que el bateador reaccione, pero menos velocidad del bate necesita el bateador para hacer contacto y es más fácil dar un cuadrangular. Pero la ventaja de una pelota a 70 MPH no es mucha, si el pelotero tiene mucha fuerza puede ajustarse con el lanzamiento y tiene mas tiempo para ver la bola y hacer contacto. Pero aunque alguien con poca fuerza en los brazos, también puede ser útil estos datos, por ejemplo: El pelotero puede batear con fuerza las bolas rápidas y los cambios los puede conectar en el “Gap” (distancia entre el campo de adentro y campo de afuera). Así que siempre son útiles estos datos para cualquiera.
III. La combinatoria en el béisbol y sus aplicaciones en estadística.
En cada situación del juego de béisbol se compone de un plan para llevar a cabo, por ejemplo: El lanzador tiene un lanzamiento a seguir para sacar fuera o ponchar un bateador, versus por supuesto un bateador que esta buscando un lanzamiento para mandarlo al jardín derecho central “GAP”. Todo bateador que quiera evitar poncharse o evitar batear a un lanzamiento malo, debe siempre de buscar la “base por bolas”. Debido a eso también tiene que tener conocimiento de su zona de “Strikes”. La zona del “Strike” es la zona que mide la distancia horizontal del plato y verticalmente la distancia desde los brazos hasta las rodillas, en donde se considera que el bateador puede conectar bien en cualquier parte de esa zona. La zona del “Strike” se compone de 9 zonas adjuntas como aparece en el siguiente diagrama:
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Adentro Arriba | Centro Arriba | Afuera Arriba |
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| Adentro Centro | Centro | Afuera Centro |
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| Adentro Abajo | Abajo Centro | Afuera Abajo |
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La tabla anterior se refiere a un bateador derecho mirando hacia el lanzador. La zona en donde mayormente un bateador batea mejor es en el centro y arriba, y donde mayormente el bateador batea mas pobre es abajo y afuera. Pero, depende de cada bateador en especifico, por ejemplo, en la siguiente tabla se obtienen las siguientes zonas que domina bien un bateador, denominadas: zonas calientes; y las que domina muy poco, denominadas: zonas frías; y las neutrales, que puede que las domine o no:
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| Neutral | Caliente | Caliente |
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| Neutral | Caliente | Caliente |
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Fría | Neutral | Neutral |
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Esta tabla que puede ser de un bateador derecho, implica su tendencia batear hacia el lado contrario, y su incapacidad para batear los lanzamientos adentro. Los lanzadores conociendo esta estadística, seguro buscaran la forma de lanzarle adentro lo mas que puedan. Pero, ojo el lanzador no puede enamorarse de esa zona, el bateador puede hacer sus ajustes y conectar bien en el próximo turno. Por eso es que no hay manera segura de sacar fuera a un bateador, tal vez se le haga difícil obtener la extensión o ver bien la bola en esa zona cuando el bateador no lo espera.
El tema que quiero llevar aquí es: ¿Cómo un bateador, conociendo la estadística, puede conectar de “hit” o imparable? Primero: El bateador tiene que conocer bien su zona del “Strike” como ya dije. Y Segundo: El bateador debe buscar un lanzamiento en especifico que pueda halar o depositarlo en la banda contraria. Primero que nada, el lanzador tiene casi siempre tres o cuatro lanzamientos que puede tirar en la zona del “Strike”. Voy a poner en ejemplo tres lanzamientos que puede tirar el lanzador, conociendo que los puede tirar en cualquier momento como “strike” y que tiene la misma acción de su brazo. O sea que cuando el lanzador lance puede lucir a ojos del bateador como cualquiera de los tres lanzamientos. Explicando lo difícil de adivinar un lanzamiento, porque el bateador si va a adivinar un lanzamiento, para batear más efectivamente; tiene por ende que escoger entre tres posibles lanzamientos que el lanzador pueda tirarle y también escoger entre las 9 zonas del “Strike”. Que además de eso el bateador no debe batearle a un lanzamiento fuera de la zona, debido a que puede conectarle mal o poncharse. Así que haciendo los cálculos de combinatoria, llegamos a la siguiente conclusión:
3 lanzamientos distintos X 9 zonas de “Strike” = equivale a 27 posibles lanzamientos en cualquier momento.
Sin incluir los arreglos de lanzamientos, lanzamientos que parecen estar en la zona, pero en lo último caen fuera de la zona del “strike”; los beisbolistas tienen que adivinar un lanzamiento de 1 entre casi 27 posibles a ocurrir. Es por eso que los bateadores hacen bien bateando solo .300, por su dificultad en conectar. Se ve claramente que el lanzador tiene toda la ventaja del mundo, porque el solo los codifica, el bateador tiene que decodificarlo. El bateador, por eso busca en el centro, para buscar un lanzamiento y después hace sus ajustes en la zona y por eso logra batear; en una de sus descuidos del lanzador, deja un lanzamiento en el medio o cuelga una curva; es cuando los bateadores aprovechan batear. En resumidas cuentas casi siempre que hay un cuadrangular o varios cuadrangulares en el juego es debido a que el lanzador coloco incorrectamente un lanzamiento en el medio o una curva que no rompió lo que debía y se quedó en el medio; o si no por supuesto, el bateador se sentó o adivino el lanzamiento que venia hacia a el plato. Es difícil para los atletas adivinar 1 entre 27, pero las Grandes Ligas están lleno de eso. Por eso no me extrañaría que Japón siendo campeón mundial tenga esa actitud de deducción matemática que se necesita para jugar al béisbol.
La siguiente es una simulación de cómo adivinar un lanzamiento en un turno al bate. Teniendo las 9 zonas del “Strike” y tres lanzamientos diferentes con la misma acción del brazo. Se van a simular los lanzamientos del lanzador y la reacción del bateador a cada uno de ellos. Primero Tengamos la siguiente zona que domina este bateador derecho:
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| Caliente | Caliente | Caliente |
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| Caliente | Caliente | Neutral |
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| | | | Neutral | Neutral | Fría |
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Primer lanzamiento: { (Fastball) Abajo Afuera, el bateador se queda mirando}, el lanzador primeramente se asegura en conseguir el primer “strike” en la zona fría, ya que después de eso consigue estar sobre el bateador.
Segundo lanzamiento: {(Fastball) Abajo Afuera como “Bola”, la deja pasar}, en este caso, el bateador deja pasar la bola, quizás la ve mala, estaba buscando otro lanzamiento, o estaba buscándola adentro. “Los lanzadores tienden a lanzar bolas malas adrede, primero: porque a veces los bateadores tienden a seguirla y hacen mal contacto o no hacen ninguno. Segundo: Si la tiran como “Strike”, ya tienen dos “Strikes” y el lanzador ¡solo necesita tres! Tercero: Es una bola con velocidad y de difícil contacto en esa zona, y en especifico, para ese bateador. Cuarto: La probabilidad de que sea el mismo lanzamiento esta dada por: (1/27)*(1/27)= (1/729).
Tercer Lanzamiento: {(Slider) Abajo Afuera en la tierra, el bateador lo deja pasar}. El lanzador vuelve a tirar un lanzamiento en la misma zona, solo que es un “Slider” en la tierra. El “Slider” se ve en los ojos del bateador como una recta y cuando esta llegando al plato rompe o cambia su dirección hacia fuera y abajo (en caso de que este sea un lanzador derecho), y a muchas veces el bateador le tira a una bola mala, no hace contacto y se poncha. El Lanzador lanzó el slider posiblemente, para ver si el bateador estaba buscando un (Fastball o recta) en esa zona otra vez (Abajo Afuera), que su probabilidad es ahorra de (1/19,683). El bateador deja pasar la bola, posiblemente porque primero: estaba buscando un lanzamiento adentro; segundo: quería tomar el lanzamiento; tercero: estaba buscando otro lanzamiento; y Cuarto: vio algún rompimiento temprano del lanzamiento. Bueno, eso solo lo sabe el lanzador, el receptor, el bateador y a veces los demás que estén en el estadio.
Cuarto Lanzamiento: {(Change-up) Adentro Arriba, el bateador conecta un ¡hit!} El lanzador cayo 2 bolas y 1 strike, el bateador posiblemente se sentó en un lanzamiento. Primero: el lanzamiento estaba prácticamente en la otra esquina y era un cambio de velocidad. Segundo: Tres veces lanzando afuera y abajo el bateador ingenuamente supuso que tenía que venir adentro con otro lanzamiento. Tercero: Adentro y arriba es una zona en donde el bateador ve bien la bola y hace buen contacto. Cuarto: en ocasiones anteriores (usando mas estadística del lanzador), ya el lanzador le había lanzado tres veces afuera y la cuarta vez adentro. Y Quinto: el lanzador tiene como mejor lanzamiento: su cambio, también no lo había lanzado anteriormente en la secuencia.
En resumen, el lanzador tiro sus lanzamientos en donde quería y el bateador le conectó con hit. Pero el bateador en su mente automáticamente conociendo de las estadísticas se aprovecho de eso. Con esto queda demostrado que hasta en el más mínimo detalle, se puede aplicar la estadística en el béisbol.
Queda demostrado con este compendio, que las estadísticas son aplicables a donde menos lo imaginas, el béisbol es uno de esos juegos en donde aparece como la cobertura de un libro de estadísticas, un parque de Pelota. Todo es estadística; Según Yogi Berra: La mitad del 90% del béisbol es mental, la otra mitad es la parte física y atlética del juego; pero el 10% restante consta de probabilidades y estadísticas. Así que no podemos juzgar algo solo por sus colores, como matemático me encargo de conseguir cada aspecto científico que pueda sacar provecho. En el compendio anterior solo se discutió tres temas resumidos en los que conocía a capacidad, quien sabe cuantas aplicaciones mas me falten por encontrar. Pero como todo matemático, es mi trabajo encontrarlo y encontrar prueba de algo que esta solo en forma reducida en su investigación del béisbol a nivel mundial.
¿Que temas voy a tocar en esta presentación? Primero, entrare de lleno a la aplicación estadística matemática del juego de béisbol; Luego, entrare en el tema física estadística y su mecánica; Y después, entrare en la parte tan importante y del poco tema investigado, de la combinatoria en el béisbol y sus aplicaciones.
I. Aplicación estadística matemática del juego de béisbol.
El promedio de bateo o “AVG.” es el número mejor conocido en el Béisbol, va desde 0 hasta 1, es solo una medida de porciento. Este promedio se obtiene del total veces que el jugador conecto un sencillo, doble, triple o cuadrangular; sobre el total de veces que bateo, sin contar las bases por bolas, pegadas de bolas y los sacrificios. El número promedio de cualquier jugador en las grandes ligas siempre se ha mantenido en .300, que significa que al jugador lo sacan fuera (out) dos de tres veces aproximadamente, considerando la tarea difícil del bateador. Existen ocasiones en donde el bateador empieza la temporada encendido, bateando por encima de .500 pero siempre en el transcurso de la temporada su promedio se ajusta y baja hasta por encima de .300. Ted Williams con promedio de sobre .400 fue el único jugador que pudo conservar su promedio por toda la temporada. La mayoría o empiezan encendidos, bateando sobre .500, una parte que se conserva en .300 y la gran mayoría empiezan por debajo de .300. Los que empiezan por debajo de .300 tienden a esforzarse por mantener el promedio de .300, al igual que los otros. Es un numero mágico en el Béisbol y su casualidad prueba de que solo batearas bien en el juego una o dos veces, dependiendo de las veces que vayas a batear. Con eso se prueba que a pesar de que se pueda comprar cualquier jugador, siempre correrás con en el mismo promedio de bateo y que se sabe que su desempeño va a ser el mismo de uno que juega por menos dinero. Aunque a veces, el entusiasmo lleva a cualquier jugador que juega prácticamente de gratis a trabajar mejor que uno que gana sus 10 millones al año. El numero mágico de .300 lleva también a los espectadores con una gota de aliento para que el jugador impulse la carrera ganadora o llegue su tanto esperado cuadrangular.
No solo el promedio “AVG.” es la única estadística usada para reclutadores y buscadores de talento, también buscan a un jugador, por su capacidad de correr “SB” en bases robadas, batear con fuerza, que incluyen los cuadrangulares “HR” y las carreras impulsadas “RBI”. También el porcentaje de llegar a bases “OBP” versus su capacidad de no poncharse “SO”; su capacidad para jugar defensa; pero también uno que lo haga todo, que es casi imposible de encontrarlo hoy día. El punto es, que se basan en varias estadísticas para conseguir a un jugador que se acomode bien a su equipo. Por ejemplo, si el equipo no esta anotando carreras porque su equipo no corre las bases, entonces, necesitamos velocidad en las bases, y lo mismo viceversa. Se hace un estudio estadístico para determinar cual es el jugador que necesita el equipo y cual se puede comprar con su prosupuesto, que ya dije, que puede variar su desempeño y no necesariamente tiene que ver su desempeño con lo que gane el jugador. En la siguiente tabla se puede ver un ejemplo de la estadística utilizada para un busca talento:
Marcos Peña
Avg. .286 HR. 13 RBI. 25 OBP. .415 SO. 35 SB.17
Juan Lopez
Avg. .309 HR. 5 RBI. 18 OBP. .689 SO. 15 SB. 35
Luis Ramos
Avg. .274 HR. 47 RBI. 115 OBP. .425 SO. 81 SB. 2
En la tabla anterior se puede utilizar para conseguir talento para su equipo, si necesito velocidad en las bases y un primer bate, seguramente escogería a Juan López, porque tiene .309 de promedio, .689 de capacidad de llegar a bases y 35 bases robadas. Si quisiera un tercer bate o cuarto para impulsar carreras seguramente escogería a Luis Ramos, que tiene 47 cuadrangulares, 115 RBI. Pero Marcos Peña podría ser un jugador promedio que hace cualquier cosa que probablemente esta en la liga porque sabe jugar defensa en conjunto con su sólido promedio de .286. De esta forma muy similar equipos con un bajo prosupuesto llegan a la Serie Mundial como fue el caso de los Tampa Bay Rays en el 2008, los Rockies de Colorado en el 2007 y los Marlins de Florida en el 2003.
En el caso de los lanzadores, que tienden a dominar a los bateadores es un poco distinto su forma de buscar talento. Ahora su promedio es llamado ERA, que es el promedio de carreras permitidas por un lanzador en juego completo. Se utiliza la siguiente formula para sacar su efectividad o ERA = (((H + BB + HBP)×PTB)/(BFP×IP))×9 − 0.56, donde H= Hits Permitidos, BB = Base por bola permitidas, HBP = Bolazos permitidos , BFP = Bateadores enfrentados al lanzador, IP = son las entradas lanzadas y PTB = (0.89×(1.255×(H − HR) + 4×HR) + 0.56×(BB + HBP − IBB)) , donde IBB= Bases por bola intencional. Estadísticamente, un ERA efectivo esta por debajo de 4.00 en las Grandes Ligas, para que se tenga una idea de cuantas carreras debería permitir un lanzador por juego.
La estadística básica de los lanzadores depende del ERA, las entradas lanzadas “IP”, y los Ponches que pueda dar el lanzador “SO”. Mientras mas pequeño sea el número del ERA, y otras estadísticas como las bases por bolas, mejor es la calidad del lanzador. Versus mientras mayor sea la cantidad de entradas lanzadas y ponches, obviamente mejor es la calidad que tiene el lanzador. Son precisamente esos dos atributos que buscan los busca talento, su efectividad y consistencia; pero también, por supuesto, su capacidad de trabajar bajo presión.
II. El tema física estadística y su mecánica
El tema de la física del béisbol ha sido un tema interesante para los matemáticos, especialmente los que adoran al béisbol. Puede medirse muy bien con formulas de física elemental y avanzada. Su aplicaciones en el tema de “momentum” en física nos lleva a la conclusión de que si es posible medir estadísticamente sus mecánicas. El tema que voy a tocar aquí trata de la física de batear, lanzar y el vuelo de la pelota. Para empezar el pegarle bien a la pelota depende de: Primero: Si el bateador tiene un buen contacto y ve bien la pelota; Segundo: Debe usar el bate apropiado para su estatura y peso; Tercero: debe tener fuerza para darle velocidad al bate en el momento del contacto. Específicamente, la fuerza en el bate hace la diferencia entre un cuadrangular o doble, versus un “out” sencillo en campo de adentro o un bombo en cualquier parte del campo. Por ejemplo: una velocidad de bate de 40 millas por horas (que es muy veloz) puede desaparecer del parque casi cualquier pelota que le lancen, especialmente si es una bola con mucha velocidad. Una bola con mucha velocidad por parte del lanzador tiene mas probabilidad de convertirse en imparable o “hit”, que un bola con menos velocidad. Es lo que dicen las leyes de “momentum” de física conjunto con las 2da ley de movimiento de Newton de acción y reacción. Mientras mas velocidad choquen dos objetos mayores es su velocidad de repulsión, y en el béisbol, no es la excepción.
El vuelo de la pelota es cuando la pelota bateada viaja cierta distancia a través del aire. Supongamos que la pelota viaja por el aire con una elevación 45 grados de inclinación hacia arriba, saliendo desde el bate como punto de contacto, los siguientes datos y velocidades con respecto a la distancia y el tiempo que es 2.5 segundos se pueden apreciar en la segunda tabla:
Velocidad de Pelota Lanzada Tiempo Distancia Recorrida
70 MPH 3 Sec. 310 Pies
75 MPH 3 Sec. 330 Pies
80 MPH 3 Sec. 350 Pies
85 MPH 3 Sec. 375 Pies
90 MPH 3 Sec. 400 Pies
95 MPH 3 Sec. 420 Pies
Simulando el vuelo de un cuadrangular, un lanzador que le lance a un bateador con una recta de 95 MPH o mas y le hace contacto, se puede decir que la desapareció del parque con su trayectoria parabólica. Claro, como ya dije esto también tiene que ver con la velocidad en que el bateador le puso al bate. Pero dejándome llevar de estos datos me ayudan a notar que el beisbolista que quiera batear una pelota a 95 MPH con fuerza, pues necesita menor velocidad con el bate y así se obtiene mejor contacto. La ventaja de lanzar una recta arriba de las 90 MPH es que es difícil para que el bateador reaccione, pero menos velocidad del bate necesita el bateador para hacer contacto y es más fácil dar un cuadrangular. Pero la ventaja de una pelota a 70 MPH no es mucha, si el pelotero tiene mucha fuerza puede ajustarse con el lanzamiento y tiene mas tiempo para ver la bola y hacer contacto. Pero aunque alguien con poca fuerza en los brazos, también puede ser útil estos datos, por ejemplo: El pelotero puede batear con fuerza las bolas rápidas y los cambios los puede conectar en el “Gap” (distancia entre el campo de adentro y campo de afuera). Así que siempre son útiles estos datos para cualquiera.
III. La combinatoria en el béisbol y sus aplicaciones en estadística.
En cada situación del juego de béisbol se compone de un plan para llevar a cabo, por ejemplo: El lanzador tiene un lanzamiento a seguir para sacar fuera o ponchar un bateador, versus por supuesto un bateador que esta buscando un lanzamiento para mandarlo al jardín derecho central “GAP”. Todo bateador que quiera evitar poncharse o evitar batear a un lanzamiento malo, debe siempre de buscar la “base por bolas”. Debido a eso también tiene que tener conocimiento de su zona de “Strikes”. La zona del “Strike” es la zona que mide la distancia horizontal del plato y verticalmente la distancia desde los brazos hasta las rodillas, en donde se considera que el bateador puede conectar bien en cualquier parte de esa zona. La zona del “Strike” se compone de 9 zonas adjuntas como aparece en el siguiente diagrama:
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Adentro Arriba | Centro Arriba | Afuera Arriba |
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| Adentro Abajo | Abajo Centro | Afuera Abajo |
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La tabla anterior se refiere a un bateador derecho mirando hacia el lanzador. La zona en donde mayormente un bateador batea mejor es en el centro y arriba, y donde mayormente el bateador batea mas pobre es abajo y afuera. Pero, depende de cada bateador en especifico, por ejemplo, en la siguiente tabla se obtienen las siguientes zonas que domina bien un bateador, denominadas: zonas calientes; y las que domina muy poco, denominadas: zonas frías; y las neutrales, que puede que las domine o no:
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| Neutral | Caliente | Caliente |
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| Neutral | Caliente | Caliente |
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Fría | Neutral | Neutral |
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Esta tabla que puede ser de un bateador derecho, implica su tendencia batear hacia el lado contrario, y su incapacidad para batear los lanzamientos adentro. Los lanzadores conociendo esta estadística, seguro buscaran la forma de lanzarle adentro lo mas que puedan. Pero, ojo el lanzador no puede enamorarse de esa zona, el bateador puede hacer sus ajustes y conectar bien en el próximo turno. Por eso es que no hay manera segura de sacar fuera a un bateador, tal vez se le haga difícil obtener la extensión o ver bien la bola en esa zona cuando el bateador no lo espera.
El tema que quiero llevar aquí es: ¿Cómo un bateador, conociendo la estadística, puede conectar de “hit” o imparable? Primero: El bateador tiene que conocer bien su zona del “Strike” como ya dije. Y Segundo: El bateador debe buscar un lanzamiento en especifico que pueda halar o depositarlo en la banda contraria. Primero que nada, el lanzador tiene casi siempre tres o cuatro lanzamientos que puede tirar en la zona del “Strike”. Voy a poner en ejemplo tres lanzamientos que puede tirar el lanzador, conociendo que los puede tirar en cualquier momento como “strike” y que tiene la misma acción de su brazo. O sea que cuando el lanzador lance puede lucir a ojos del bateador como cualquiera de los tres lanzamientos. Explicando lo difícil de adivinar un lanzamiento, porque el bateador si va a adivinar un lanzamiento, para batear más efectivamente; tiene por ende que escoger entre tres posibles lanzamientos que el lanzador pueda tirarle y también escoger entre las 9 zonas del “Strike”. Que además de eso el bateador no debe batearle a un lanzamiento fuera de la zona, debido a que puede conectarle mal o poncharse. Así que haciendo los cálculos de combinatoria, llegamos a la siguiente conclusión:
3 lanzamientos distintos X 9 zonas de “Strike” = equivale a 27 posibles lanzamientos en cualquier momento.
Sin incluir los arreglos de lanzamientos, lanzamientos que parecen estar en la zona, pero en lo último caen fuera de la zona del “strike”; los beisbolistas tienen que adivinar un lanzamiento de 1 entre casi 27 posibles a ocurrir. Es por eso que los bateadores hacen bien bateando solo .300, por su dificultad en conectar. Se ve claramente que el lanzador tiene toda la ventaja del mundo, porque el solo los codifica, el bateador tiene que decodificarlo. El bateador, por eso busca en el centro, para buscar un lanzamiento y después hace sus ajustes en la zona y por eso logra batear; en una de sus descuidos del lanzador, deja un lanzamiento en el medio o cuelga una curva; es cuando los bateadores aprovechan batear. En resumidas cuentas casi siempre que hay un cuadrangular o varios cuadrangulares en el juego es debido a que el lanzador coloco incorrectamente un lanzamiento en el medio o una curva que no rompió lo que debía y se quedó en el medio; o si no por supuesto, el bateador se sentó o adivino el lanzamiento que venia hacia a el plato. Es difícil para los atletas adivinar 1 entre 27, pero las Grandes Ligas están lleno de eso. Por eso no me extrañaría que Japón siendo campeón mundial tenga esa actitud de deducción matemática que se necesita para jugar al béisbol.
La siguiente es una simulación de cómo adivinar un lanzamiento en un turno al bate. Teniendo las 9 zonas del “Strike” y tres lanzamientos diferentes con la misma acción del brazo. Se van a simular los lanzamientos del lanzador y la reacción del bateador a cada uno de ellos. Primero Tengamos la siguiente zona que domina este bateador derecho:
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Primer lanzamiento: { (Fastball) Abajo Afuera, el bateador se queda mirando}, el lanzador primeramente se asegura en conseguir el primer “strike” en la zona fría, ya que después de eso consigue estar sobre el bateador.
Segundo lanzamiento: {(Fastball) Abajo Afuera como “Bola”, la deja pasar}, en este caso, el bateador deja pasar la bola, quizás la ve mala, estaba buscando otro lanzamiento, o estaba buscándola adentro. “Los lanzadores tienden a lanzar bolas malas adrede, primero: porque a veces los bateadores tienden a seguirla y hacen mal contacto o no hacen ninguno. Segundo: Si la tiran como “Strike”, ya tienen dos “Strikes” y el lanzador ¡solo necesita tres! Tercero: Es una bola con velocidad y de difícil contacto en esa zona, y en especifico, para ese bateador. Cuarto: La probabilidad de que sea el mismo lanzamiento esta dada por: (1/27)*(1/27)= (1/729).
Tercer Lanzamiento: {(Slider) Abajo Afuera en la tierra, el bateador lo deja pasar}. El lanzador vuelve a tirar un lanzamiento en la misma zona, solo que es un “Slider” en la tierra. El “Slider” se ve en los ojos del bateador como una recta y cuando esta llegando al plato rompe o cambia su dirección hacia fuera y abajo (en caso de que este sea un lanzador derecho), y a muchas veces el bateador le tira a una bola mala, no hace contacto y se poncha. El Lanzador lanzó el slider posiblemente, para ver si el bateador estaba buscando un (Fastball o recta) en esa zona otra vez (Abajo Afuera), que su probabilidad es ahorra de (1/19,683). El bateador deja pasar la bola, posiblemente porque primero: estaba buscando un lanzamiento adentro; segundo: quería tomar el lanzamiento; tercero: estaba buscando otro lanzamiento; y Cuarto: vio algún rompimiento temprano del lanzamiento. Bueno, eso solo lo sabe el lanzador, el receptor, el bateador y a veces los demás que estén en el estadio.
Cuarto Lanzamiento: {(Change-up) Adentro Arriba, el bateador conecta un ¡hit!} El lanzador cayo 2 bolas y 1 strike, el bateador posiblemente se sentó en un lanzamiento. Primero: el lanzamiento estaba prácticamente en la otra esquina y era un cambio de velocidad. Segundo: Tres veces lanzando afuera y abajo el bateador ingenuamente supuso que tenía que venir adentro con otro lanzamiento. Tercero: Adentro y arriba es una zona en donde el bateador ve bien la bola y hace buen contacto. Cuarto: en ocasiones anteriores (usando mas estadística del lanzador), ya el lanzador le había lanzado tres veces afuera y la cuarta vez adentro. Y Quinto: el lanzador tiene como mejor lanzamiento: su cambio, también no lo había lanzado anteriormente en la secuencia.
En resumen, el lanzador tiro sus lanzamientos en donde quería y el bateador le conectó con hit. Pero el bateador en su mente automáticamente conociendo de las estadísticas se aprovecho de eso. Con esto queda demostrado que hasta en el más mínimo detalle, se puede aplicar la estadística en el béisbol.
Queda demostrado con este compendio, que las estadísticas son aplicables a donde menos lo imaginas, el béisbol es uno de esos juegos en donde aparece como la cobertura de un libro de estadísticas, un parque de Pelota. Todo es estadística; Según Yogi Berra: La mitad del 90% del béisbol es mental, la otra mitad es la parte física y atlética del juego; pero el 10% restante consta de probabilidades y estadísticas. Así que no podemos juzgar algo solo por sus colores, como matemático me encargo de conseguir cada aspecto científico que pueda sacar provecho. En el compendio anterior solo se discutió tres temas resumidos en los que conocía a capacidad, quien sabe cuantas aplicaciones mas me falten por encontrar. Pero como todo matemático, es mi trabajo encontrarlo y encontrar prueba de algo que esta solo en forma reducida en su investigación del béisbol a nivel mundial.
miércoles, 29 de abril de 2009
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